📈 Матанализ

Коэффициент Фурье

Q: Что делать, если период не 2π?

Перейти к переменной $t = \tfrac{\pi x}{l}$: для периода $2l$ в формулах появляется множитель $\tfrac{1}{l}$, а аргументы гармоник становятся $\cos \tfrac{n\pi x}{l}$ и $\sin \tfrac{n\pi x}{l}$. Структура не меняется — меняется только масштаб частот.

англ. Fourier coefficients

Числа aₙ и bₙ, задающие разложение периодической функции в тригонометрический ряд; вычисляются интегралами от функции, умноженной на cos nx и sin nx.

Коэффициенты Фурье — «паспорт» периодической функции в частотном представлении. Если $f$ периода $2 π$ интегрируема, то числа $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x$ и $b_{n} = \frac{1}{π} \int f (x) sin n x d x$ задают её тригонометрический ряд. Формулы получаются из ортогональности гармоник: умножьте тождество на $cos n x$ и проинтегрируйте — все лишние члены обнулятся, останется нужный коэффициент.

Практические следствия: чётная функция имеет только косинусные коэффициенты ( $b_{n} = 0$ ), нечётная — только синусные ( $a_{n} = 0$ ), поэтому отрезок разложения выбирают там, где функция симметрична. Скорость убывания коэффициентов определяет гладкость: разрыв даёт $1/ n$ , непрерывная кусочно гладкая — $1/ n^{2}$ . Амплитудный спектр $a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ — стандартная картинка в обработке сигналов; для непериодических функций роль коэффициентов играет спектральная плотность из интеграла Фурье.

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x, a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x

формулы Эйлера–Фурье для периода 2π

Частые вопросы

Почему коэффициенты не зависят друг от друга?

Из-за ортогональности: интеграл от произведения разных гармоник по периоду равен нулю. Поэтому изменить $a_{3}$ в коэффициентах — значит изменить ровно третью гармонику, не тронув остальные. Такая независимость и делает спектр удобным языком описания сигналов.

Что делать, если период не 2π?

Перейти к переменной $t = \frac{π x}{l}$ : для периода $2 l$ в формулах появляется множитель $\frac{1}{l}$ , а аргументы гармоник становятся $cos \frac{nπ x}{l}$ и $sin \frac{nπ x}{l}$ . Структура не меняется — меняется только масштаб частот.