Поверхностные интегралы: площадь, поток векторного поля и формула Гаусса

Купол парка красят снаружи: сколько краски уйдёт, если расход на квадратный метр меняется с высотой? Сквозь сетчатую мембрану дует ветер: сколько воздуха проходит сквозь неё за секунду? Два вопроса — две конструкции: интеграл по площади поверхности (первый род) и интеграл с участием направления (второй род, поток). Тема завершает раздел теории поля: формулы Остроградского—Гаусса, к которой мы придём в конце, — это ответ на вопрос, зачем вообще считать поток по куску поверхности.

Первый род: масса и площадь поверхности#

Пусть поверхность $S$ несёт поверхностную плотность $\rho (x,y,z)$ — грамм на квадратный сантиметр прямо на искривлённом листе. Режем поверхность на крошечные кусочки $\Delta S_k$, взвешиваем каждый по плотности в пробной точке, суммируем, измельчаем — получается интеграл первого рода:

Считается он сведением к двойному: если поверхность задана графиком $z=g(x,y)$ над областью $D$, то наклон поверхности раздувает площадку множителем

Пример с числами: верхняя полусфера радиуса $R$ с плотностью $\rho =z$ — оболочка, тяжелеющая к макушке. На полусфере $z=R\cos \phi$, а элемент площади в сферических углах равен $R^2\sin \phi d\phi d\theta$ с $0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$:

При $R=1$ масса полусферы равна $\pi$: для сравнения, вся площадь единичной сферы $4\pi$, а её масса с той же плотностью была бы $2\pi$ — верхняя половина из-за роста плотности к вершине несёт ровно половину, симметрия полусферы и плотности $z$ об этом договариваются заранее. Подробная техника параметризаций осталась в двойных интегралах — здесь она работает без изменений.

Второй род: поток векторного поля#

Поле $\vec{F}=(P,Q,R)$ — скажем, скорость течения. Сколько жидкости пересекает поверхность $S$ за единицу времени? Кусочек поверхности вносит вклад, пропорциональный его площади и нормальной составляющей скорости: течение вдоль поверхности ничего не переносит насквозь. Скалярное произведение поля на единичную нормаль $\vec{n}$ выделяет именно нормальную часть, и поток определяется так:

Координатная запись обязана выбору стороны: нормаль можно направить в одну или другую сторону, и поток сменит знак. Для замкнутой поверхности соглашение жёсткое — наружу; тогда положительный поток означает, что внутри источников больше, чем стоков. Ориентация — не мелочь: знак — половина ответа. Механику потока по контурам и поверхностям можно потрогать в теории поля, где разобраны дивергенция и ротор — плотность источников и вихрей.

Формула Остроградского—Гаусса#

Главный инструмент темы связывает поток через замкнутую поверхность с поведением поля внутри:

Смысл без магии: расставьте в объёме крошечные кубики. Поток через внутренние стенки соседей взаимно уничтожается — что вытекло из одного, влилось в другой, — и выживает только поток через внешнюю границу. Сумма источников по всем кубикам и есть тройной интеграл дивергенции. Схема точно та же, что у формулы Грина на плоскости, — разбор с общей точки зрения в теории поля и в статье про формулу Грина.

Практическая выгода мгновенная: поток через хитро изогнутую замкнутую поверхность порой равен тройному интегралу от константы. Пример, который разберём по шагам ниже: поле $\vec{F}=(x,y,0)$, поверхность — сфера радиуса $R$. Дивергенция $\mathrm{div}\vec{F}=1+1+0=2$, и поток равен $2$ на объём шара, то есть $\frac{8\pi R^3}{3}$ — без единого параметризования сферы.

Как связаны оба рода#

Второй род превращается в первый, если расписать нормаль по направляющим косинусам: $\vec{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$. Тогда

Разница между родами — не в интеграле, а в информации: первый род отвечает «сколько всего на поверхности», второй — «сколько идёт насквозь с учётом направления». У первого рода стороны нет: масса оболочки не зависит от того, с какой стороны её красить. У второго — сторона определяет знак, и без указания нормали поток не определён. В задачах выбор рода подсказан вопросом: площадь и масса — первый, скорость переноса — второй.

Типовые ошибки#

1. Забыт множитель $\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}$: площадь наклонного купола посчитана как площадь его проекции — занижение, а не округление
2. Поток без указанной нормали: ответ «число» без стороны — незавершённый ответ; смена нормали меняет знак
3. Теорема Гаусса применена к открытой поверхности: чаше, листу, диску без замыкающей крышки формула не работает
4. Дивергенция посчитана с потерей компонента: нулевой компонент поля не отменяет его производную, если она не нулевая — проверяйте все три слагаемых
5. Сферический элемент площади $dS=R^2\sin \phi d\phi d\theta$ потерял синус: интеграл по сфере без него молча занижается

1. 1
   Основа темы — измерители поля: теория поля — градиент, дивергенция, ротор
2. 2
   Интегралы по линиям — предшественник поверхностных: криволинейные интегралы
3. 3
   Техника вычислений и сферические замены: двойные интегралы и тройные интегралы
4. 4
   Повторить векторную базу: шпаргалка по векторной алгебре и статья про дивергенцию

Оба рода считаются одним приёмом — разрезать поверхность, оценить вклад кусочка, просуммировать, — но скаляр на кусочке разный: площадь с весом или нормальная составляющая поля. Теорема Остроградского—Гаусса делает последний ход: сворачивает поток по границе в объёмную сумму источников, и вместе с формулами Грина и Стокса закрывает курс матанализа. Полный прототип темы разобран в криволинейных интегралах, векторные произведения для нормалей — в шпаргалке по векторной алгебре, а термин двойной интеграл остаётся техническим фундаментом всех вычислений.