Экстремумы функции двух переменных: как найти точки максимума и минимума

Пластина из металла нагрета неравномерно: температура в каждой точке $(x,y)$ своя. Где самое горячее место? Где самое холодное? Это и есть задача про экстремум функции двух переменных — только вместо одной производной теперь две, а вместо «выпуклость вверх-вниз» появляется явление, которого в одном измерении не бывает вовсе: точка, которая минимум вдоль одной оси и максимум вдоль другой. В этом уроке — полный протокол поиска: сначала выхватить кандидатов, потом расследовать каждого по критерию $AC-B^2$.

Необходимое условие: стационарные точки#

Точка $(x_0,y_0)$ даёт локальный максимум, если вблизи неё все значения функции не выше $f(x_0,y_0)$, и локальный минимум, если не ниже. Слово «локальный» честно ограничивает претензии: сравнение идёт с маленькой окрестностью, а не со всей областью. Функция $x^3+y^3-3xy$ ниже покажет забавную вещь: у неё значение локального максимума меньше значения локального минимума — и противоречия тут нет.

Если в точке экстремума функция дифференцируема, обе частные производные обязаны обнулиться. Логика та же, что в одном измерении: вдоль каждой из осей сечение графика — обычная функция одной переменной, и у неё в точке экстремума производная нулевая. Направление роста в точке максимума не существует никуда — градиент равен нулю:

Точки, где обе производные обнуляются, зовутся стационарными. Их находят решением системы двух уравнений — обычно самого трудоёмкого шага всей задачи. Запомните направление стрелки: экстремум влечёт равенство нулю, но не наоборот. Стационарная точка может оказаться и седлом, как перевал между двумя вершинами: шаг в одну сторону — подъём, в другую — спуск.

Достаточное условие: критерий AC − B²#

Список стационарных точек набран — теперь допрос каждого кандидата. Нужны вторые производные в самой точке:

• $\Delta >0$, $A>0$ — локальный минимум: чаша
• $\Delta >0$, $A<0$ — локальный максимум: купол
• $\Delta <0$ — седловая точка: экстремума нет
• $\Delta =0$ — критерий молчит, нужно исследование более высоких порядков

Заметьте: когда $B=0$, критерий превращается в школьную фразу «вторая производная отрицательна — максимум, положительна — минимум». Одномерный случай из урока об исследовании функции — частный вариант того же правила. Член $-B^2$ — штраф за перекрёстное влияние переменных: чем сильнее $x$ и $y$ связаны вторым смешанным произведением, тем труднее поверхности образовать чашу.

Случай $\Delta =0$ коварен тем, что похожие функции ведут себя противоположно. У $f=x^4+y^4$ в начале координат $A=B=C=0$, а минимум налицо. У $f=x^3+y^3$ там же все вторые производные тоже нулевые, а экстремума нет — вдоль оси $x$ функция растёт, вдоль $y$ падает. Вывод: при нулевом определителе вердикт выносится руками, разложением или сравнением значений по разным направлениям.

Разбор: x³ + y³ − 3xy по протоколу#

Классика контрольных и учебников. Попробуйте сначала сами: продифференцируйте, решите систему, посчитайте определитель. Потом раскрывайте шаги.

Оценка трудозатрат честная: система двух уравнений заняла больше строк, чем весь критерий. На контрольной это нормальный расклад — дифференцируйте аккуратно и не теряйте множитель 3.

Почему критерий верен: подход Тейлора#

Обоснование — то же, что и в одном измерении: сравнить функцию в стационарной точке с соседними. Формула Тейлора второго порядка (полная версия — в уроке о формуле Тейлора) для приращения возле стационарной точки $(x_0,y_0)$ с малыми сдвигами $h$, $k$ даёт:

Судьба точки зависит от знака квадратичной формы $A{h}^2+2Bhk+C{k}^2$. Если она положительна при всех ненулевых сдвигах — приращение положительно, минимум. Если отрицательна при всех — максимум. Если среди сдвигов есть и плюс, и минус — седло. Условие $\Delta >0$ и означает, что форма знакопостоянна, а знак $A$ выбирает, чаша это или купол. При $\Delta <0$ форма меняет знак — например, у $x^2-y^2$ сдвиг вдоль $x$ поднимает, вдоль $y$ опускает.

Пример с числами от начала до конца#

Возьмём $f(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y$. Производные: $f_x^{\prime }=2x-y+1$, $f_y^{\prime }=2y-x+1$. Система: из первого уравнения $y=2x+1$; подстановка во второе даёт $4x+2-x+1=0$, то есть $x=-1$, $y=-1$. Одна стационарная точка. Вторые производные: $A=2$, $B=-1$, $C=2$, значит $\Delta =4-1=3>0$ и $A>0$ — минимум. Значение: $f(-1,-1)=1+1-1-1-1=-1$. Вся задача — семь строк, если не считать арифметику.

Типовые ошибки#

1. Забытая граница: нашли стационарные точки и пишете ответ. А на границе замкнутой области значение нередко ниже — сравнивайте и его
2. $\Delta =0$ объявляется «минимумом, потому что похоже на чашу». Критерий молчит — нужен разбор приращения по направлениям
3. Потерян знак в $B$: смешанная производная со знаком минус — самая частая арифметическая жертва; проверяйте дифференцированием по порядку
4. Система решена не до конца: из $x=y^2$, $y=x^2$ нужно вытащить все вещественные пары, а не первую приглянувшуюся
5. Экстремум ищется там, где функция не дифференцируема (например, есть корень или модуль): там стационарных точек в списке нет, а минимум может сидеть именно в изломе

1. 1
   Связать экстремум с ограничением — следующий урок: условные экстремумы и множители Лагранжа
2. 2
   Увидеть, как массы и центры тяжести считаются по областям: приложения двойных интегралов
3. 3
   Подтянуть базу по градиенту и смешанным производным: частные производные и градиент и статья про вторые производные
4. 4
   Набить руку на дифференцировании: тренажёр производных и шпаргалка по таблице производных

Протокол из пяти шагов — дифференцируем, решаем систему, считаем $A$, $B$, $C$, выносим вердикт по $\Delta$, проверяем границу — работает безотказно, потому что опирается на одну формулу Тейлора. Уберите из него шаг с границей, и задача станет арифметическим упражнением; добавьте ограничение вида $g(x,y)=0$, и понадобится новый инструмент — множители Лагранжа, ими и займёмся дальше. Термин экстремум функции двух переменных держит формулировки под рукой, а словарная статья экстремум — одномерный первоисточник понятия.