📈 Матанализ

Производная степенной функции

Q: Как дифференцировать √(x²+1)?

Двумя правилами сразу: корень — это степень $\tfrac12$, внутри — скобка. $(\sqrt{x^2+1})' = \tfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \tfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Схема «степень вниз, степень минус один, умножить на производную внутреннего» покрывает все вложенные степени.

англ. Power rule

(x^p)′ = p·x^(p−1) для любого действительного p: степень падает вниз и уменьшается на единицу; корни и дроби сводятся к одной формуле.

Степенное правило: $(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$ — работает для любого действительного показателя. Механика одна: показатель спускается множителем, степень уменьшается на единицу. Примеры: $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ , $(x^{2})^{'} = 2 x$ , $(x)^{'} = 1$ , $(x^{100})^{'} = 100 x^{99}$ ; для корней сначала переписать: $(x)^{'} = (x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ — минус от отрицательного показателя.

Правило — фундамент дифференцирования многочленов: $(3 x^{4} - 7 x + 2)^{'} = 12 x^{3} - 7$ — каждый член независимо, константа исчезает. Для произвольного действительного $p$ (например, $(x^{π})^{'} = π x^{π - 1}$ ) строгий вывод требует логарифмического дифференцирования или экспоненты: $x^{p} = e^{p l n x}$ . Связь с другими правилами: $(u^{p})^{'} = p u^{p - 1} u^{'}$ — степенное правило плюс цепное правило; пример $((x^{2} + 1)^{5})^{'} = 10 x (x^{2} + 1)^{4}$ . Полная таблица — в шпаргалке производных; определение и предел — в уроке производная: определение.

(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}; (x)^{'} = \frac{1}{2 x}; (u^{p})^{'} = p u^{p - 1} u^{'}

степенное правило, корень и версия с цепным правилом

Частые вопросы

Почему константа исчезает при дифференцировании?

Потому что константа не меняется: её приращение всегда ноль, и предел отношения нуля на что-то — ноль. В степенном правиле это видно на $(x^{0})^{'} = (1)^{'} = 0$ : нулевая степень даёт множитель ноль. Геометрически график константы — горизонтальная прямая с нулевым наклоном.

Как дифференцировать √(x²+1)?

Двумя правилами сразу: корень — это степень $\frac{1}{2}$ , внутри — скобка. $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ . Схема «степень вниз, степень минус один, умножить на производную внутреннего» покрывает все вложенные степени.