📈 Матанализ

Производная косинуса

Q: Как продифференцировать cos(2x + 1)?

Цепным правилом: внешняя функция — косинус, внутренняя — $2x + 1$ с производной два. Ответ $-2\sin(2x + 1)$. Общая схема $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$ работает для любого внутреннего выражения, включая сложные скобки.

англ. Derivative of cosine

(cos x)′ = −sin x: абсцисса бегущей точки убывает, когда ордината растёт; минус — следствие смены направления проекции.

Производная косинуса — минус синус: $(cos x)^{'} = - sin x$ . Картинка та же: точка бежит по окружности против часовой стрелки, её абсцисса (косинус) в правой полуплоскости убывает — пока ордината положительна, то есть со скоростью $- sin x$ . Проверка в точке $x = 0$ : косинус имеет максимум $1$ , производная $- sin 0 = 0$ — вершина стоит. В $x = \frac{π}{2}$ падение самое крутое: $- sin \frac{π}{2} = - 1$ .

Минус — единственное отличие от производной синуса, и его регулярно теряют. Помогает связь: $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ , и цепное правило даёт $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ — минус возникает из формул приведения, а не из воздуха. Следствия: $(cos k x)^{'} = - k sin k x$ , $(1 - cos x)^{'} = sin x$ — последняя встречается в длине дуги и гармониках. Вторая производная $cos^{''} = - cos$ возвращает функцию с минусом — знак уравнения гармонических колебаний $y^{''} = - ω^{2} y$ .

(cos x)^{'} = - sin x; (cos k x)^{'} = - k sin k x; cos^{''} x = - cos x

базовая формула, масштабный множитель и вторая производная

Частые вопросы

Почему у косинуса минус, а у синуса нет?

Потому что в момент, когда синус растёт быстрее всего (нулевая точка), косинус уже вершина и готовится падать: две функции сдвинуты на четверть периода, и в каждой точке одна растёт, другая падает. Формально минус приходит из формулы приведения: $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ .

Как продифференцировать cos(2x + 1)?

Цепным правилом: внешняя функция — косинус, внутренняя — $2 x + 1$ с производной два. Ответ $- 2 sin (2 x + 1)$ . Общая схема $(cos u)^{'} = - sin u \cdot u^{'}$ работает для любого внутреннего выражения, включая сложные скобки.