📈 Матанализ

Производная тангенса

Q: Почему производная тангенса всегда положительна?

Потому что $\cos^2 x > 0$ всюду, где тангенс определён: знаменатель — квадрат, он не бывает отрицательным. Значит, каждая ветвь тангенса строго возрастает — и уравнение $\operatorname{tg} x = a$ имеет ровно одно решение на каждой ветви, что и даёт единственную серию $\operatorname{arctg} a + \pi k$.

англ. Derivative of tangent

(tg x)′ = 1/cos²x = 1 + tg²x: тангенс всюду возрастает, скорость минимальна в нуле и уходит в бесконечность у асимптот.

Производная тангенса: $(tg x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x} = 1 + tg^{2} x$ . Вторая запись выводится из основного тождества, и обе полезны: первая — для вычислений, вторая — для уравнений с производной. Формула честно отражает поведение графика тангенса: функция строго возрастает на каждой ветви, скорость минимальна в нуле ( $1$ ) и неограниченно растёт у асимптот — там ветвь взмывает вертикально.

Вывод через частное: $(\frac{s i n x}{c o s x})^{'} = \frac{c o s ^{2} x + s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ — числитель собрался в единицу основного тождества, и всё схлопнулось. Производная определена там же, где сам тангенс: $cos x \neq = 0$ , точки $\frac{π}{2} + π k$ выпадают. Проверка числа: $tg^{'} \frac{π}{4} = \frac{1}{( \frac{2}{2} ) ^{2}} = 2$ — наклон ветви в единичной точке равен двум, что видно и по графику. Для котангенса симметрично: $(ctg x)^{'} = - \frac{1}{s i n ^{2} x}$ — с минусом, ведь котангенс убывает.

(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tg^{2} x; (ctg x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}

пара производных: тангенс растёт, котангенс убывает

Частые вопросы

Почему производная тангенса всегда положительна?

Потому что $cos^{2} x > 0$ всюду, где тангенс определён: знаменатель — квадрат, он не бывает отрицательным. Значит, каждая ветвь тангенса строго возрастает — и уравнение $tg x = a$ имеет ровно одно решение на каждой ветви, что и даёт единственную серию $arctg a + π k$ .

Зачем нужна запись 1 + tg²x?

Для уравнений и интегралов, где тангенс уже присутствует: замена $u = tg x$ превращает $1 + tg^{2} x$ в $1 + u^{2}$ , и интеграл $\int \frac{d x}{c o s ^{2} x}$ становится $\int d u = u + C = tg x + C$ . Две формы одной формулы обслуживают разные задачи.