📈 Матанализ

Квадратное неравенство

англ. Quadratic inequality

Неравенство вида ax² + bx + c □ 0: решается через дискриминант и знак параболы; девять возможных картин ответа.

Квадратное неравенство — требование к знаку трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ . Парабола пересекает ось максимум дважды, поэтому знаковое разбиение оси содержит до трёх интервалов, а ответом бывает луч, отрезок, объединение двух лучей, вся прямая или пустое множество. Ядро решения — дискриминант и направление ветвей параболы.

Алгоритм: привести к стандартному виду, найти корни, определить направление ветвей по знаку $a$ , выбрать интервалы под знак, выколоть или закрасить корни по строгости. Например, $x^{2} - x - 6 > 0$ даёт корни $- 2$ и $3$ , ветви вверх, плюс снаружи — ответ $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ с выколотыми точками. Полный разбор с проверкой — на странице квадратные неравенства, счётчик своего примера — в решателе неравенств.

a > 0, D > 0 : f > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; x_{1}) \cup (x_{2}; + \infty), f < 0 \Leftrightarrow x \in (x_{1}; x_{2})

базовая картина для ветвей вверх и двух корней

Частые вопросы

Что делать при отрицательном старшем коэффициенте?

Ничего специально: ветви направлены вниз, картина знаков зеркальна. Удобный приём — умножить неравенство на $- 1$ , не забыв перевернуть знак, и решать с положительным $a$ . Контрольная точка $x = 0$ подтверждает сторону ответа.

Обязательно ли рисовать параболу?

Графически — нет, но представлять её полезно: корни — пересечения с осью, ветви вверх — плюс снаружи. Картинка не даёт ошибиться в стороне решения, а в решателе неравенств она строится автоматически с заливкой подходящей области.

пошагово

Решить квадратное неравенство онлайн

Дискриминант, парабола и выколотые точки: разбор всех случаев плюс живой решатель с числовой прямой.

Открыть решатель