📈 Матанализ

Полный квадрат

англ. Perfect square

Трёхчлен вида a(x + m)²: выделяется формулой a(x − x_v)² + y_v; корни видны сразу, вершина — без вычислений.

Полный квадрат — представление трёхчлена в виде $a (x - x_{v})^{2} + y_{v}$ . Формулы сокращённого умножения работают в обе стороны: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ раскладывает, а выделение квадрата собирает. Пример: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , но $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ — квадрат с минусом, из которого видны корни $x = 1$ и $x = 5$ .

Выделение полного квадрата — альтернатива дискриминанту и источник многих формул: корней, вершины, круга при изучении конических сечений. Для неравенств он даёт мгновенную картину знака: $(x - 3)^{2} \geq 0$ всегда, значит трёхчлен с положительной добавкой всюду положителен — ответ виден без корней. Считать свои квадраты удобно в решателе квадратных уравнений.

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a})

общее выделение квадрата

Частые вопросы

Как понять, что трёхчлен — полный квадрат?

Проверьте дискриминант: полный квадрат без добавки имеет $D = 0$ . У $x^{2} - 6 x + 9$ дискриминант $36 - 36 = 0$ — чистый квадрат. Если $D \neq = 0$ , трёхчлен равен квадрату плюс константа, и выделение квадрата всё равно работает.

Зачем выделять квадрат, если есть формула корней?

Формула корней сама выводится из выделения квадрата — это её источник. Практически квадрат быстрее для оценки знака и вершины, а в задачах с параметром — единственный путь, когда корни в явном виде не нужны.