📈 Матанализ

Неравенства с модулем

англ. Inequalities with absolute value

|x| < a — интервал, |x| > a — два луча; решение через расстояние или раскрытие на случаи.

Неравенства с модулем решаются картинкой расстояний. Модуль — расстояние до нуля, поэтому $∣ x ∣ < 3$ — числа ближе трёх: $(- 3; 3)$ , а $∣ x ∣ > 3$ — дальше трёх: $(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ . Со сдвигом то же самое: $∣ x - 5∣ \leq 2$ — отрезок $[3; 7]$ вокруг пятёрки. Одна картинка заменяет два случая раскрытия.

Ловкий случай — $∣ x ∣ > a$ при $a < 0$ : модуль неотрицателен, значит верно всегда. А $∣ x ∣ < a$ при $a < 0$ — решений нет: расстояние не бывает отрицательным. Алгоритмическая альтернатива картинке — раскрытие модуля на два случая с системой неравенств на знак подмодульного выражения; для сложных выражений работает метод рационализации.

∣ x ∣ < a \Leftrightarrow - a < x < a (a > 0); ∣ x ∣ > a \Leftrightarrow x < - a или x > a; ∣ x - a ∣ < ε \Leftrightarrow x \in (a - ε; a + ε)

три ключевых шаблона

Частые вопросы

Почему |x| < a даёт интервал, а |x| > a — два луча?

Потому что «близко к нулю» — один кусок прямой вокруг нуля, а «далеко от нуля» — два куска по краям. Модуль измеряет расстояние, и эти фразы — буквально условия на расстояние: меньше радиуса — внутри круга на прямой, больше — снаружи.

Что делать со сдвинутым модулем |x − 5| ≤ 2?

Представить расстояние до пятёрки: не дальше двух — значит, от трёх до семи. Формально: раскрыть на два случая $x - 5 \geq 0$ и $x - 5 < 0$ , решить каждую систему и объединить ответы — получится тот же отрезок $[3; 7]$ .

пошагово

Порешать неравенства с модулем

Модуль — расстояние: решатель закрывает линейные и квадратные случаи, разбор показывает раскрытие на случаи.

Открыть решатель