📈 Матанализ

Система неравенств

англ. System of inequalities

Несколько неравенств, требующих одновременной истинности: решение — пересечение промежутков.

Система неравенств требует выполнения всех неравенств одновременно, поэтому её решение — пересечение решений отдельных строк. Техника: каждое неравенство решается отдельно, промежутки рисуются на одной числовой прямой вертикальными штрихами, ответ — там, где штрихи сошлись. Пустое пересечение — законный ответ: система противоречива.

Пример: $x > 0$ и $x \leq 3$ дают $x \in (0; 3]$ . Система $x < 2$ и $x > 5$ пуста — прямой штриховкой это видно сразу. Системы возникают повсюду: раскрытие модуля, условия существования корня, ограничения текстовых задач. Противоположность — совокупность, где достаточно выполнения хотя бы одного условия и решения объединяются.

{x > 0 x \leq 3 \Leftrightarrow x \in (0; 3]; {x < 2 x > 5 \Leftrightarrow \emptyset

пересечение и пустой случай

Частые вопросы

Чем система отличается от совокупности?

Фигурной скобкой и смыслом: система — «и», решения пересекаются; совокупность — «или», решения объединяются. Ошибка в одну сторону меняет ответ на противоположный, поэтому сначала спросите себя: должны ли условия выполняться одновременно?

Сколько неравенств можно объединять в систему?

Сколько нужно: техника пересечения не зависит от числа строк. В задачах с ОДЗ систем из трёх-четырёх условий обычное дело — ограничения на корень, на знаменатель, на логарифм добавляют по строке.