📈 Матанализ

Объединение множеств

Q: Чем объединение отличается от сложения чисел?

При объединении общие элементы считаются один раз: $\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$. Числа бы сложились с учётом двойки, а множества — нет. Для конечных множеств есть формула включений-исключений: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

англ. Union of sets

Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: A ∪ B; в ответах неравенств соединяет промежутки знаком ∪.

Объединение множеств $A \cup B$ — множество элементов, входящих хотя бы в одно из них. На числовой прямой это слияние штриховок: $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ — «снаружи корней». Логика объединения — «или»: условие $A \cup B$ верно, когда верно первое или второе. В системах уравнений совокупность корней разных случаев объединяется именно этим знаком.

Свойства: объединение коммутативно и ассоциативно, пересекается с пересечением по дистрибутивным законам $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ — точь-в-точь как умножение и сложение. Противоположность — пересечение $\cap$ : «и», общая часть штриховок. Уметь переключаться между «или» и «и» — половина безошибочной работы с неравенствами.

A \cup B = {x : x \in A или x \in B}; A \cup \emptyset = A; A \cup R = R

определение и нейтральные элементы

Частые вопросы

Чем объединение отличается от сложения чисел?

При объединении общие элементы считаются один раз: ${1, 2} \cup {2, 3} = {1, 2, 3}$ . Числа бы сложились с учётом двойки, а множества — нет. Для конечных множеств есть формула включений-исключений: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .

Почему в ответах неравенств пишут ∪, а не «или»?

Слово «или» описывает логику решения, знак $\cup$ описывает итоговое множество. Запись $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ короче, однозначнее и принята в контрольных работах; «икс меньше минус двух или больше трёх» — то же самое словами, годится для черновика.