📈 Матанализ

Двойное неравенство

Q: Можно ли умножать двойное неравенство на отрицательное число?

Да, но знак переворачивается во всех трёх частях, и порядок границ меняется: из $2 < x < 4$ умножением на $-1$ получается $-4 < -x < -2$. Ошибка «перевернул только одну часть» — типичная ловушка проверочных работ.

Q: Как оценить выражение с двумя переменными, например x + y?

Оценки складываются: если $1 < x < 3$ и $2 < y < 5$, то $3 < x + y < 8$. Для произведения складываются логарифмы, но практически перемножаются границы с проверкой знаков. Для разности вычитаются оценки второй переменной с переворотом знака.

англ. Compound inequality

Запись a < x < b: число зажато между двумя границами; решается вычитанием из всех частей и делением.

Двойное неравенство $a < x < b$ — компактная запись системы из двух условий: $x > a$ и $x < b$ . Отвечает интервалу $(a; b)$ . Преобразования проводятся над всеми тремя частями сразу: вычесть два — значит вычесть из левой, средней и правой части. Задача «оцените $3 x + 1$ , если $2 < x < 4$ » решается именно так: $7 < 3 x + 1 < 13$ .

Двойные неравенства — язык оценок: погрешность измерения записывается как $∣ x - a ∣ \leq Δ$ , то есть $a - Δ \leq x \leq a + Δ$ . В определении предела $∣ f (x) - L ∣ < ε$ — то же двойное неравенство в модуле. Решение через систему с двумя строками и через одну запись — эквивалентны, но одна запись короче и не даёт потерять границу.

a < x < b \Leftrightarrow {x > a x < b \Leftrightarrow x \in (a; b); a < x < b \Rightarrow a + c < x + c < b + c

система под одной записью и сдвиг всех частей

Частые вопросы

Можно ли умножать двойное неравенство на отрицательное число?

Да, но знак переворачивается во всех трёх частях, и порядок границ меняется: из $2 < x < 4$ умножением на $- 1$ получается $- 4 < - x < - 2$ . Ошибка «перевернул только одну часть» — типичная ловушка проверочных работ.

Как оценить выражение с двумя переменными, например x + y?

Оценки складываются: если $1 < x < 3$ и $2 < y < 5$ , то $3 < x + y < 8$ . Для произведения складываются логарифмы, но практически перемножаются границы с проверкой знаков. Для разности вычитаются оценки второй переменной с переворотом знака.