📈 Матанализ

Дискриминант

Q: Почему у D именно такая формула?

Она возникает при выделении полного квадрата: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}$. Уравнение превращается в квадратное относительно скобки, и знак вынесенной константы — это и есть знак $D$ — решает, есть ли корни.

англ. Discriminant

Величина D = b² − 4ac, заранее сообщающая число корней квадратного уравнения: два, один или ни одного.

Дискриминант квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ — число $D = b^{2} - 4 a c$ . Он измеряет расстояние параболы до оси: $D > 0$ — два корня (два пересечения), $D = 0$ — один кратный корень (касание), $D < 0$ — действительных корней нет (пересечений нет). Формула корней $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ работает ровно при $D \geq 0$ .

Название говорит само: дискриминант различает (лат. discriminare) случаи, не вычисляя корни. В неравенствах это первый взгляд: $D < 0$ при ветвях вверх означает, что трёхчлен всюду положителен, и неравенство $f > 0$ решается одной строкой — вся прямая. Считать корни здесь не нужно. Корни своего трёхчлена считает решатель квадратных уравнений, а в решателе неравенств дискриминант автоматически входит в каждый шаг.

D = b^{2} - 4 a c; x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}; x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

определение, корни и проверка Виетом

Частые вопросы

Почему у D именно такая формула?

Она возникает при выделении полного квадрата: $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$ . Уравнение превращается в квадратное относительно скобки, и знак вынесенной константы — это и есть знак $D$ — решает, есть ли корни.

Дискриминант отрицательный — значит, решать нечего?

Для уравнения — да, действительных корней нет. Для неравенства — нет: трёхчлен всюду одного знака, и ответ либо вся прямая, либо пустое множество. Один знак $D$ даёт готовый ответ без единого вычисления корней.

пошагово

Решатель квадратных уравнений

Посчитать дискриминант по шагам

Решатель квадратных уравнений вычисляет D, находит корни всех трёх веток и проверяет их теоремой Виета.

Открыть решатель