📈 Матанализ

Вершина параболы

англ. Vertex of a parabola

Точка перегиба направления ветвей с координатами x = −b/(2a), y = f(x): экстремум квадратичной функции.

Вершина параболы — точка $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ , в которой квадратичная функция достигает наименьшего значения при ветвях вверх и наибольшего при ветвях вниз. Ордината находится подстановкой: $y_{v} = f (x_{v})$ , а через полный квадрат она видна сразу: $y = a (x - x_{v})^{2} + y_{v}$ .

Вершина — опорная точка трёх задач. Эскиз графика строится от неё. Экстремальные задачи («наибольшая площадь при данном периметре») сводятся к поиску вершины. В неравенствах вершина помогает прикинуть, достигает ли трёхчлен нуля: если минимум положителен, корней нет, и картина дискриминанта видна без вычисления.

x_{v} = - \frac{b}{2 a}; y_{v} = c - \frac{b ^{2}}{4 a}; a x^{2} + b x + c = a (x - x_{v})^{2} + y_{v}

абсцисса, ордината и выделение полного квадрата

Частые вопросы

Почему экстремум квадратичной функции именно в вершине?

Потому что парабола симметрична относительно вертикали через вершину, а монотонная по обе стороны функция меняет характер роста только один раз. Формально производная $2 a x + b$ обращается в ноль при $x = - \frac{b}{2 a}$ — это та же точка, увиденная из матанализа.

Может ли вершина лежать вне интересующего отрезка?

Да, и тогда экстремум на отрезке достигается на его конце. Задача «найдите наибольшее значение на отрезке» требует проверить и вершину, и оба конца: три кандидата, из них выбирается лучший.