Системы дифференциальных уравнений

Хищники и жертвы в одной клетке таблицы: лисы едят кроликов, кролики плодятся, и судьбы обоих видов сплетены. Система дифференциальных уравнений — это несколько ДУ, где неизвестных несколько и каждое уравнение связывает их всех: $x^{\prime }=f(x,y)$, $y^{\prime }=g(x,y)$. Порядок сменяется связностью: вместо одного уравнения высшего порядка — сеть уравнений первого порядка. Любая система нормального вида эквивалентна одному ДУ высшего порядка (исключением неизвестных), а линейная система с постоянными коэффициентами записывается матрично: ${\mathbf{y}}^{\prime }=A\mathbf{y}$ — и решается через собственные значения и векторы $A$, родственники которых уже знакомы по термину собственный вектор.

Разбор: система $x^{\prime }=y$, $y^{\prime }=-x$ (гармонический осциллятор в координатах). Исключение: $x^{\prime \prime }=y^{\prime }=-x$, то есть $x^{\prime \prime }+x=0$ — решение $x=C_1\cos t+C_2\sin t$, а $y=x^{\prime }=-C_1\sin t+C_2\cos t$. Матричный путь даёт то же: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ имеет собственные значения $\pm i$, и пары комплексных корней дают вращение — траектории на фазовой плоскости окружности $x^2+y^2=R^2$. Энергия $\frac{x^2+y^2}{2}$ сохраняется — потому круги и не расходятся. Механика исключения и матричный метод с примерами — в уроке системы ДУ, геометрия траекторий — в терминах фазовая плоскость и интегральная кривая.