🌊 Диффуры

Интегральная кривая

англ. Integral curve

График решения дифференциального уравнения на плоскости xOy; в каждой своей точке касается вектора поля направлений f(x, y).

Интегральная кривая — график конкретного решения дифференциального уравнения $y^{'} = f (x, y)$ на плоскости $(x, y)$ . Правая часть задаёт поле направлений: в каждой точке плоскости стоит маленькая стрелка с наклоном $f (x, y)$ , и интегральная кривая — та линия, которая в каждой точке касается своей стрелки. Общее решение даёт целое семейство кривых — по одной на каждое значение постоянной $C$ . Наглядная картина и приёмы её построения — в уроке основы ДУ первого порядка и в методе изоклин.

Теорема единственности сообщает: через точку, где $f$ гладкая, проходит ровно одна интегральная кривая — поле направлений не позволяет расходиться. Для автономных уравнений картину упрощают переходом к фазовой прямой, а для систем — к фазовой плоскости: там рисуют фазовые траектории, которые являются интегральными кривыми в другом пространстве — координата против скорости. Важно не путать эти два рисунка: интегральная кривая показывает $y$ как функцию времени, фазовая траектория — сам маршрут системы без времени. Аппарат фазовых плоскостей — в уроке фазовые траектории и термине фазовая плоскость.

y^{'} = f (x, y) \Rightarrow y = φ (x, C) : семейство интегральных кривых

каждое значение константы C выделяет одну кривую семейства; начальное условие выбирает C

Частые вопросы

Чем интегральная кривая отличается от фазовой траектории?

Пространством, в котором нарисована. Интегральная кривая живёт в плоскости $(x, y)$ — время отложено по оси абсцисс, видно, когда и как меняется решение. Фазовая траектория живёт в фазовом пространстве $(y, y^{'})$ — время исчезло, виден только маршрут состояния. Для системы маятника первая картинка — график угла от времени, вторая — эллипсы и спирали на фазовой плоскости. Информация одна, но смотрят на них за разным: поведение во времени против качества равновесий.

Сколько интегральных кривых проходит через одну точку?

Ровно одна — если правая часть непрерывна и липшицева по $y$ в окрестности этой точки, это теорема единственности. Начальное условие $y (x_{0}) = y_{0}$ как раз и выбирает кривую семейства, подбирая константу $C$ . Исключения случаются в точках разрыва правой части: там могут пересекаться целые пучки кривых, и именно на таких множествах живут особые решения и сепаратрисы, разделяющие качественно разные режимы движения.