📈 Матанализ

Синус

Q: Почему sin(−t) = −sin t?

Точки с углами $t$ и $-t$ симметричны относительно горизонтального диаметра окружности: у них одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Ордината и есть синус — значит, он меняет знак. Геометрически это та же нечётность, что у кубической параболы.

англ. Sine

Ордината точки единичной окружности, соответствующей углу t; функция sin t определена для любого угла и принимает значения от −1 до 1.

Синус угла $t$ — ордината точки, в которую попадает луч под углом $t$ на единичной окружности. В прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе; окружность обобщает это определение на любые углы, включая отрицательные и большие оборота. Значения зажаты в отрезок $[- 1; 1]$ : ордината точки на окружности не бывает дальше единицы от центра. Опорные значения: $sin 0 = 0$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ .

Функция нечётна ( $sin (- t) = - sin t$ ), периодична с периодом $2 π$ (см. период тригонометрических функций), растёт на $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ — на этом отрезке определён арксинус. В уравнениях $sin x = a$ серия корней записывается через $(- 1)^{k}$ ; полный алгоритм — на странице простейшие тригонометрические уравнения. Производная синуса — косинус: факт, работающий именно в радианах.

sin t = y_{точки}; sin^{2} t + cos^{2} t = 1; (sin t)^{'} = cos t

определение через окружность; основное тождество; производная в радианах

Частые вопросы

Может ли синус быть равен 2 или −5?

Нет: ордината точки единичной окружности лежит между минус единицей и единицей, поэтому уравнение $sin x = 2$ не имеет решений. Это первая проверка любого уравнения вида $sin x = a$ : если $∣ a ∣ > 1$ , ответ «решений нет» пишется сразу, без вычислений.

Почему sin(−t) = −sin t?

Точки с углами $t$ и $- t$ симметричны относительно горизонтального диаметра окружности: у них одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Ордината и есть синус — значит, он меняет знак. Геометрически это та же нечётность, что у кубической параболы.