📈 Матанализ

Арксинус

Q: Чему равен arcsin(sin 2π/3)?

Не двойке третих: $\sin \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{\sqrt3}{2}$, а арксинус возвращает угол из $[-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}]$, где такое значение даёт $\tfrac{\pi}{3}$. Итог: $\arcsin(\sin \tfrac{2\pi}{3}) = \tfrac{\pi}{3}$. Композиция обратной функции возвращает аргумент только внутри её ветки.

англ. Arcsine

Обратная функция к синусу на отрезке [−π/2; π/2]: arcsin a возвращает угол от −π/2 до π/2, синус которого равен a.

Арксинус $arcsin a$ отвечает на вопрос «синус какого угла равен $a$ ?». Чтобы ответ был однозначным, выбирают ветку $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ — единственный отрезок, где синус строго монотонен и каждое значение из $[- 1; 1$ ] достигается один раз. Опорные значения: $arcsin 0 = 0$ , $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , $arcsin \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ , $arcsin 1 = \frac{π}{2}$ ; функция нечётна: $arcsin (- a) = - arcsin a$ .

В уравнениях арксинус — сырье для серии корней: $sin x = a$ даёт $x = (- 1)^{k} arcsin a + π k$ . Разница между арксинусом и всем множеством решений принципиальна: $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ — один угол, а $sin x = \frac{1}{2}$ имеет бесконечную серию $\dots, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \dots$ Полный алгоритм с таблицей общих решений — на странице простейшие тригонометрические уравнения; картинка углов — на термине единичная окружность.

arcsin a = t ⟺ sin t = a, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}], a \in [- 1; 1]

определение через обратную ветку синуса; аргумент ограничен единицей

Частые вопросы

Почему arcsin 2 не существует?

Синус любого угла лежит в отрезке от −1 до 1, поэтому уравнение $sin t = 2$ не имеет решений, и обратной ветки для двойки нет. Калькулятор честно выдаёт ошибку. Это же условие $∣ a ∣ \leq 1$ — первая проверка существования корней в уравнении $sin x = a$ .

Чему равен arcsin(sin 2π/3)?

Не двойке третих: $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ , а арксинус возвращает угол из $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , где такое значение даёт $\frac{π}{3}$ . Итог: $arcsin (sin \frac{2 π}{3}) = \frac{π}{3}$ . Композиция обратной функции возвращает аргумент только внутри её ветки.