📈 Матанализ

Среднее арифметическое

Q: Почему среднее называют центром тяжести?

Если поставить равные грузы в точки $x_i$ на прямой, точка опоры окажется ровно в $\bar{x}$: суммы моментов слева и справа равны. Это физическое определение даёт те же свойства — устойчивость к симметричным сдвигам, взвешивание при неравных грузах.

англ. Arithmetic mean

Сумма чисел, делённая на их количество: центр тяжести набора на числовой прямой; всегда между минимумом и максимумом.

Среднее арифметическое набора чисел — их сумма, делённая на количество: $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ . На числовой прямой это центр тяжести точек: всегда не меньше минимума и не больше максимума. Для пары чисел — середина отрезка; свойство $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ делает полусумму базой многих формул, от вершины параболы до трапеций в численном интегрировании.

Среднее чувствительно к выбросам: одна зарплата миллиардера портит среднюю по цеху, и в статистике рядом живут медиана и мода. В теории вероятностей математическое ожидание — взвешенное среднее; в сравнении со средним геометрическим работает неравенство Коши: арифметическое всегда не меньше геометрического.

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}; min x_{i} \leq \overset{x}{ˉ} \leq max x_{i}

определение и границы

Частые вопросы

Почему среднее называют центром тяжести?

Если поставить равные грузы в точки $x_{i}$ на прямой, точка опоры окажется ровно в $\overset{x}{ˉ}$ : суммы моментов слева и справа равны. Это физическое определение даёт те же свойства — устойчивость к симметричным сдвигам, взвешивание при неравных грузах.

Когда среднее лучше медианы?

Когда распределение симметрично и выбросов нет: тогда среднее использует всю информацию о значениях. При сильных перекосах медиана честнее — она не смещается хвостом. Выбор между ними — вопрос о форме данных, а не вкуса.