📈 Матанализ

Неравенство Коши

Q: Как доказать неравенство Коши одной строкой?

Через полный квадрат: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ раскрывается в $a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0$. Всё доказательство — неотрицательность квадрата. Это одна из самых коротких теорем математического анализа с самыми длинными обобщениями.

англ. AM–GM inequality

Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического; равенство — при равных числах.

Неравенство Коши для двух неотрицательных чисел: $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , равенство — при $a = b$ . Геометрически: у отрезка длины $a + b$ полусумма длин — среднее арифметическое, высота полукруга над ним — среднее геометрическое, и высота не выше радиуса. Для $n$ чисел аналогично: $\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n}$ .

Практическая сила — в задачах на экстремум без производной: при фиксированной сумме произведение максимально у равных слагаемых, при фиксированном произведении сумма минимальна у равных. $x y = 16$ при $x, y > 0$ даёт минимум $x + y = 2 x y = 8$ при $x = y = 4$ . Родственники — неравенство Бернулли и неравенство Коши–Буняковского для скалярных произведений.

\frac{a + b}{2} \geq ab; \frac{x + y}{2} \geq x y \Rightarrow x + y \geq 2 x y

двучленный случай и его экстремальное применение

Частые вопросы

Как доказать неравенство Коши одной строкой?

Через полный квадрат: $(a - b)^{2} \geq 0$ раскрывается в $a + b - 2 ab \geq 0$ . Всё доказательство — неотрицательность квадрата. Это одна из самых коротких теорем математического анализа с самыми длинными обобщениями.

Когда равенство достигается?

При равных числах: $a = b$ для пары, все равны для $n$ чисел. В экстремальных задачах это подсказка ответа: минимум суммы при фиксированном произведении ищите при равных слагаемых.