📈 Матанализ

Средняя и мгновенная скорость

Q: Может ли мгновенная скорость быть отрицательной?

Да — это движение назад по координатной оси: при $s(t) = t^2$ скорость $2t$ отрицательна при $t < 0$. Знак — направление, модуль — быстрота. В задачах на путь «туда-обратно» средняя путевая скорость считается по пройденному пути (модулям), а не по перемещению — две «средние» различаются, и путаница стоит баллов.

Q: Почему мгновенная скорость — производная, а не деление в момент?

Деление «в момент» не определено: и путь, и время равны нулю, выходит неопределённость $\tfrac00$. Спасает предел: берём всё более короткие интервалы вокруг момента — отношение стабилизируется, и его предел и есть производная. Именно поэтому мгновенная скорость — фундаментальный пример производной, а не отдельное понятие.

англ. Average and instantaneous speed

Средняя — путь на время всего участка; мгновенная — предел средних при стягивании интервала, то есть производная координаты.

Средняя скорость на участке $[t_{1}; t_{2}]$ — весь путь, делённый на всё время: $v_{ср} = \frac{s ( t _{2} ) - s ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$ . Мгновенная — предел средних по стягивающемуся интервалу вокруг момента $t$ : $v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{s ( t + Δ t ) - s ( t )}{Δ t} = s^{'} (t)$ . Разница осязаема: маршрут 120 км за 2 часа даёт среднюю $60$ км/ч, но спидометр за дорогу показал и $90$ , и $0$ на светофоре — спидометр измеряет мгновенную.

Числовой пример: $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ (метры, секунды). Средняя на $[0; 3]$ : $\frac{s ( 3 ) - s ( 0 )}{3} = \frac{0}{3} = 0$ — машина вернулась в старт. Мгновенная $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ — парабола: нули в $t = 1$ и $t = 3$ (остановки), минимум скорости в $t = 2$ , $v = - 3$ м/с — движение назад. Средняя ноль при живом движении — классический парадокс, который снимает только производная. Связь с физикой производной — в физическом смысле производной; предел секущей — в геометрическом смысле.

v_{ср} = \frac{s ( t _{2} ) - s ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}; v (t) = s^{'} (t) = Δ t \to 0 lim \frac{Δ s}{Δ t}

две скорости: секущая и касательная к графику пути

Частые вопросы

Может ли мгновенная скорость быть отрицательной?

Да — это движение назад по координатной оси: при $s (t) = t^{2}$ скорость $2 t$ отрицательна при $t < 0$ . Знак — направление, модуль — быстрота. В задачах на путь «туда-обратно» средняя путевая скорость считается по пройденному пути (модулям), а не по перемещению — две «средние» различаются, и путаница стоит баллов.

Почему мгновенная скорость — производная, а не деление в момент?

Деление «в момент» не определено: и путь, и время равны нулю, выходит неопределённость $\frac{0}{0}$ . Спасает предел: берём всё более короткие интервалы вокруг момента — отношение стабилизируется, и его предел и есть производная. Именно поэтому мгновенная скорость — фундаментальный пример производной, а не отдельное понятие.