📈 Матанализ

Среднее геометрическое

Q: Что такое среднее гармоническое и где оно?

Третья классика: $H = \tfrac{n}{\tfrac1{x_1} + \dots + \tfrac1{x_n}}$ — усредняет обратные величины, подходит для скоростей на равных участках пути. Цепочка всегда $H \le G \le \bar{x}$ — три средних выстроены неравенством Коши и его родственниками.

англ. Geometric mean

Корень n-й степени из произведения чисел: правильно усредняет темпы роста и коэффициенты; не больше среднего арифметического.

Среднее геометрическое положительных чисел — корень $n$ -й степени из их произведения: $G = n x_{1} x_{2} \dots x_{n}$ . Оно усредняет множители, а не слагаемые: годовые темпы роста $1, 1$ и $1, 3$ дают средний темп $1, 1 \cdot 1, 3 \approx 1, 195$ — и это честнее, чем среднее арифметическое $1, 2$ , если речь о накоплении процентов.

По неравенству Коши среднее геометрическое не превосходит арифметического, с равенством у равных чисел. Определено оно только для неотрицательных чисел: произведение отрицательных может быть положительным, но смысл «среднего множителя» теряется. Связь с логарифмами: $ln G = \frac{l n x _{1} + \dots + l n x _{n}}{n}$ — среднее арифметическое логарифмов, что объясняет подходящесть для темпов и коэффициентов.

G = n i = 1 \prod n x_{i}; G \leq \overset{x}{ˉ}; ln G = \frac{1}{n} \sum ln x_{i}

определение, неравенство Коши и логарифмический вид

Частые вопросы

Почему для темпов роста берут геометрическое среднее?

Потому что рост умножается, а не складывается: два года по $1, 1$ дают $1, 21$ , а не $2, 2$ . Средний множитель должен удовлетворять тому же умножению: $G^{2} = x_{1} x_{2}$ , откуда и корень из произведения. Арифметическое среднее переоценивает итог при неравных темпах.

Что такое среднее гармоническое и где оно?

Третья классика: $H = \frac{n}{\frac{1}{x _{1}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}}$ — усредняет обратные величины, подходит для скоростей на равных участках пути. Цепочка всегда $H \leq G \leq \overset{x}{ˉ}$ — три средних выстроены неравенством Коши и его родственниками.