Резонанс в дифференциальном уравнении

Резонанс в ДУ — ситуация, когда правая часть неоднородного уравнения «поёт в тон» однородному: её показатель совпадает с корнем характеристического уравнения. Для $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=A\sin \omega x$ попытка искать частное решение в виде $B\sin \omega x$ проваливается — слева получается ноль. Механизм ровно тот же, что и в физике: качели толкают в такт собственным колебаниям, и энергия накапливается от периода к периоду. Подбор правых частей систематически разобран в уроке линейные неоднородные ДУ.

Лечится множителем: частное решение ищут как $x^m$ умноженный на «обычную» форму, где $m$ — кратность совпавшего корня. В примере выше ответ $-\frac{A}{2\omega }x\cos \omega x$: амплитуда растёт линейно со временем, что и наблюдается при раскачке качелей. Если совпали два корня, множитель $x^2$, рост квадратичный. На практике резонанс — инженерная страховка: мосты, механизмы и электрические контуры проектируют так, чтобы рабочие частоты не совпадали с собственными. Механическая сторона явления — в терминах резонанс механический, качественная картина траекторий — в уроке фазовые траектории.