Метод отражений
англ. Method of images
Построение функции Грина и решений краевых задач подменой границы симметричным «фиктивным» источником: заряд-изображение делает границу эквипотенциалью бесплатно.
Метод отражений (метод изображений) решает краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона хитрым трюком: вместо того чтобы честно решать задачу с границей, добавляют фиктивные источники по ту сторону границы, подобранные так, чтобы граница автоматически оказалась правильной. Классика — точечный заряд на расстоянии от заземлённой проводящей плоскости: помещаем заряд в зеркальную точку, и потенциал их суммы на плоскости обнуляется сам собой — задача Дирихле решена, а поле над плоскостью совпадает с истинным. Связь с аппаратом функций Грина — в терминах функция Грина и функция Грина для УЧП.
Для полуплоскости это даёт готовую функцию Грина: разность фундаментальных решений источника и его отражения, и через неё — интегральное представление решения задачи Дирихле. Для сферы работает инверсия: изображение заряда прячется в точке, обратной к данной относительно сферы, и множитель подправляет величину. Метод геометрический, поэтому его сила — в простых конфигурациях: плоскости, сферы, угол в рациональную долю развёрнутого угла, где можно расставить конечное число отражений. Для произвольной границы отражения становятся бесконечным процессом, и на смену приходят численные методы. Контекст краевых задач — в материале уравнение Лапласа и терминах задача Дирихле, задача Неймана.
Частые вопросы
Откуда берётся «зеркальный» источник?
Из требования обнулить или выровнять решение на границе. Фундаментальное решение даёт на плоскости симметричный профиль, а его отражение с противоположным знаком даёт точно такой же профиль с обратным знаком — сумма на границе ноль, как и требует задача Дирихле с нулевыми данными. Физически фиктивный заряд — удобный вычислительный приём, поле внутри области полностью совпадает с полем реальной задачи; за границей — фикция, которую игнорируют.
Работает ли метод отражений для круга?
Да, но с поправкой: простое зеркалирование не годится, используется инверсия. Изображение заряда помещают в точку на луче «центр — заряд», на расстоянии от центра, где — расстояние заряда до центра сферы, а величину изображения делят на масштаб. Проверка проводится по потенциалу на окружности: он обязан быть постоянным. Для углов с рациональным отношением метод тоже работает — источники расставляются по вершинам правильного многоугольника поворотами.