📈 Матанализ

Косинус

Q: Почему косинус чётный, а синус нечётный?

По симметрии окружности: углы $t$ и $-t$ дают точки, зеркальные относительно горизонтального диаметра. Абсциссы (косинусы) при таком отражении сохраняются, ординаты (синусы) — меняют знак. Всё определение через координаты точки делает проверку свойств делом одной картинки.

Q: Как связаны cos t и sin t одного угла?

Основным тождеством $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$: точка лежит на окружности радиуса один, и сумма квадратов её координат равна единице. Зная синус, косинус восстанавливается с точностью до знака — знак выбирается по четверти угла.

англ. Cosine

Абсцисса точки единичной окружности для угла t; чётная периодическая функция со значениями от −1 до 1, производная равна минус синусу.

Косинус угла $t$ — абсцисса точки на единичной окружности; в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Опорные значения: $cos 0 = 1$ , $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $cos \frac{π}{2} = 0$ , $cos π = - 1$ . Функция чётна: $cos (- t) = cos t$ — точки $\pm t$ зеркальны относительно горизонтальной оси, их абсциссы совпадают.

Косинус и синус — сдвинутые копии друг друга: $cos t = sin (t + \frac{π}{2})$ , поэтому все свойства переносятся со сдвигом на четверть оборота. В уравнении $cos x = a$ корни симметричны относительно нуля: серия $x = \pm arccos a + 2 π n$ (см. арккосинус). Косинус описывает проекцию вращения на горизонтальную ось — от координаты качуна до переменного тока: $u (t) = U cos (ω t + φ)$ — запись, которую разбирает метод вспомогательного угла.

cos t = x_{точки}; cos (- t) = cos t; (cos t)^{'} = - sin t

определение; чётность; производная с минусом — из-за смены направления проекции

Частые вопросы

Почему косинус чётный, а синус нечётный?

По симметрии окружности: углы $t$ и $- t$ дают точки, зеркальные относительно горизонтального диаметра. Абсциссы (косинусы) при таком отражении сохраняются, ординаты (синусы) — меняют знак. Всё определение через координаты точки делает проверку свойств делом одной картинки.

Как связаны cos t и sin t одного угла?

Основным тождеством $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ : точка лежит на окружности радиуса один, и сумма квадратов её координат равна единице. Зная синус, косинус восстанавливается с точностью до знака — знак выбирается по четверти угла.