📈 Матанализ

Арккосинус

Q: Как посчитать arccos(−√2/2) без таблицы?

По тождеству для отрицательного аргумента: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$. Значит $\arccos(-\tfrac{\sqrt2}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}$. Геометрия подтверждает: угол в $135°$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, и его косинус по модулю равен $\tfrac{\sqrt2}{2}$.

англ. Arccosine

Обратная функция к косинусу на отрезке [0; π]: arccos a возвращает угол от 0 до π, косинус которого равен a; функция убывает.

Арккосинус $arccos a$ — угол из $[0; π]$ , косинус которого равен $a$ . Ветка выбрана там, где косинус строго убывает, значит обратная функция однозначна. Опорные значения: $arccos 1 = 0$ , $arccos \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ , $arccos 0 = \frac{π}{2}$ , $arccos (- 1) = π$ . В отличие от арксинуса, функция не нечётна: $arccos (- a) = π - arccos a$ — минус у аргумента отражает угол относительно вертикали окружности.

В решении уравнения $cos x = a$ арккосинус даёт серию с «минус-плюс»: $x = \pm arccos a + 2 π n$ — симметрия косинуса относительно горизонтальной оси порождает пары углов. Связь с арксинусом постоянна: $arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$ при любом допустимом $a$ — проверьте на $\frac{1}{2}$ : $\frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ . Таблица серий и алгоритм — в материале простейшие тригонометрические уравнения; формулы — в шпаргалке тригонометрических формул.

arccos a = t ⟺ cos t = a, t \in [0; π], a \in [- 1; 1]; arccos (- a) = π - arccos a

определение; тождество для отрицательного аргумента

Частые вопросы

Почему арккосинус определён на [0; π], а не на [−π/2; π/2]?

Нужен отрезок, где косинус принимает каждое значение ровно один раз, то есть строго монотонен. На $[0; π]$ косинус убывает от единицы до минус единицы — подходит. На $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ косинус сначала растёт, потом убывает — значение $\frac{2}{2}$ достигалось бы дважды, и обратная функция была бы неоднозначной.

Как посчитать arccos(−√2/2) без таблицы?

По тождеству для отрицательного аргумента: $arccos (- a) = π - arccos a$ . Значит $arccos (- \frac{2}{2}) = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ . Геометрия подтверждает: угол в $135°$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, и его косинус по модулю равен $\frac{2}{2}$ .