🧭 ТФКП

Изолированная особая точка

Q: Как быстро классифицировать особую точку без ряда Лорана?

По пределу. Существует конечный предел — точка устранимая; предел бесконечен — полюс (порядок ищется через разложение знаменателя или производные); предела нет — существенно особая. Для дробей полезен приём: нули знаменателя, не совпадающие с нулями числителя, дают полюса порядка кратности нуля. Ещё инструмент — разложение элементарных функций: у $e^{1/z}$, $\sin(1/z)$ в нуле ряд Лорана бесконечен в обе стороны, значит точка существенно особая.

Q: Чем полюс отличается от существенно особой точки?

Скоростью и характером расходимости. Полюс растёт степенным образом: $|f| \to \infty$ по всем направлениям, и после умножения на $(z - z_0)^m$ функция становится аналитической. Существенно особая точка ведёт себя дичее: по теореме Сохоцкого—Вейерштрасса в любой сколь угодно малой проколотой окрестности функция принимает все комплексные значения, кроме, может быть, одного. Вычет и там существует, поэтому интегралы по контурам считаются, но ряд Лорана бесконечен в отрицательные степени.

англ. Isolated singularity

Точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция аналитична, а в самой точке аналитичность нарушена; классифицируется по ряду Лорана: устранимая, полюс, существенно особая.

Изолированная особая точка — точка $z_{0}$ , в которой аналитичность функции нарушена, но в некоторой проколотой окрестности $0 < ∣ z - z_{0} ∣ < r$ функция аналитична. Классификация строится по ряду Лорана в этой окрестности: нет главной части — точка устранимая; главная часть конечна, с самой большой отрицательной степенью $1/ (z - z_{0})^{m}$ — полюс порядка $m$ ; главная часть бесконечна — существенно особая точка. Устройство рядов — в уроке ряды Тейлора и Лорана, типы точек — в терминах устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка.

Три типа ведут себя на пределе по-разному, и это лучший практический тест. Устранимая точка: предел существует — например, $sin z / z$ в нуле, доопределяем единицей и забываем о проблеме. Полюс: $∣ f ∣ \to \infty$ предсказуемо, как у $1/ z^{m}$ ; вычет легко считается, полюса — главный источник ненулевых интегралов. Существенно особая: предела нет вообще, и по теореме Сохоцкого функция в любой окрестности принимает бесконечно много значений — посмотрите на $e^{1/ z}$ : справа от нуля рвётся к бесконечности, слева к нулю, а сверху и снизу осциллирует по единичной окружности.

f (z) = n = - \infty \sum + \infty c_{n} (z - z_{0})^{n} : c_{n < 0} = 0 | c_{- m} \neq = 0, c_{n < m} = 0 | \infty членов

диагностика по ряду Лорана: главная часть отсутствует — устранимая, конечна — полюс порядка m, бесконечна — существенно особая

Частые вопросы

Как быстро классифицировать особую точку без ряда Лорана?

По пределу. Существует конечный предел — точка устранимая; предел бесконечен — полюс (порядок ищется через разложение знаменателя или производные); предела нет — существенно особая. Для дробей полезен приём: нули знаменателя, не совпадающие с нулями числителя, дают полюса порядка кратности нуля. Ещё инструмент — разложение элементарных функций: у $e^{1/ z}$ , $sin (1/ z)$ в нуле ряд Лорана бесконечен в обе стороны, значит точка существенно особая.

Чем полюс отличается от существенно особой точки?

Скоростью и характером расходимости. Полюс растёт степенным образом: $∣ f ∣ \to \infty$ по всем направлениям, и после умножения на $(z - z_{0})^{m}$ функция становится аналитической. Существенно особая точка ведёт себя дичее: по теореме Сохоцкого—Вейерштрасса в любой сколь угодно малой проколотой окрестности функция принимает все комплексные значения, кроме, может быть, одного. Вычет и там существует, поэтому интегралы по контурам считаются, но ряд Лорана бесконечен в отрицательные степени.