Гильбертово пространство

Скалярное произведение умеет измерять длины и углы в любом линейном пространстве, но лишь полнота превращает его в рабочее место анализа. Гильбертово пространство — линейное пространство со скалярным произведением, полное по порождённой норме $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$: каждая фундаментальная последовательность имеет предел. Эталоны — евклидово ${\mathbb{R}}^n$ с обычным произведением, пространство квадратично суммируемых последовательностей $l^2$ и пространство функций $L^2$, где скалярным произведением служит интеграл произведения. Полнота здесь — не абстракция, а гарантия, что пределы интегрирования и суммирования не уводят за пределы пространства: что это даёт на уровне метрик, разобрано в уроке метрические пространства, а устройство самого измерения — в статье скалярное произведение.

Плата за аксиомы — геометрия в бесконечномерности: теорема Пифагора, неравенство Бесселя и существование проекции на замкнутое подпространство, через которую строятся разложения по ортонормированным базисам. Проверим на $l^2$: у последовательности $x=(1/2,1/4,1/8,\dots )$ норма $\Vert x{\Vert }^2=\sum 4^{-n}=1/3$, а по первым двум осям $1/4+1/16=5/16\le 1/3$ — Бессель честен, и равенство Парсеваля достигается ровно на полных наборах осей. На этом стоит ряд Фурье: коэффициенты — проекции функции на ортогональные гармоники, а частичные суммы — наилучшие приближения в $L^2$: среди всех линейных комбинаций первых $N$ гармоник ни одна не подходит к функции ближе. Теория с доказательствами — в уроке гильбертовы пространства.