Скалярное произведение векторов

Полезная работа силы: тянете санки с силой $F$, сместилась повозка на $s$ — физика засчитывает только сонаправленную часть усилия, $F\cdot s\cdot \cos \phi$. Это и есть скалярное произведение: операция, склеивающая два вектора в число. Алгебраически — сумма покоординатных произведений: $a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$; геометрически — длины, перемноженные на косинус угла. Число положительно, когда векторы смотрят в одну сторону; отрицательно, когда друг на друга; ноль — когда перпендикулярны. Из него растёт вся метрика евклидова пространства: длины $|a|=\sqrt{a\cdot a}$, углы, ортогональность.

Считаем: $a=(3,4)$, $b=(1,2)$. Скалярное произведение: $3\cdot 1+4\cdot 2=11$. Длины: $|a|=5$, $|b|=\sqrt{5}$. Косинус угла: $\cos \phi =\frac{11}{5\sqrt{5}}\approx 0.984$ — угол около $10^{\circ }$, векторы почти сонаправлены. Перпендикулярность — мгновенный тест нулём: для $(3,4)$ и $(-4,3)$ произведение $-12+12=0$ — ортогональны, и это ровно поворот на $90^{\circ }$. Заметьте длину $(3,4)$: $\sqrt{9+16}=5$ — прямое следствие $a\cdot a=|a{|}^2$. Свойства симметричности и линейности ($a\cdot (\alpha b+\gamma c)=\alpha a\cdot b+\gamma a\cdot c$) превращают геометрию в алгебру: проекции, ортогонализация Грама–Шмидта, МНК — всё стоит на этом фундаменте. Практика — в уроке скалярное произведение, метрическая рамка — в терминах вектор.