Фундаментальная система решений

Три цвета красок, из которых смешивается вся палитра: фундаментальная система решений (ФСР) — базис пространства решений однородной СЛАУ $Ax=0$. Его размерность равна $n-r$, где $n$ — число неизвестных, $r$ — ранг матрицы: каждая свободная переменная добавляет измерение, каждое уравнение (независимое) одно измерение отбирает. Общее решение однородной системы — линейная комбинация векторов ФСР с произвольными коэффициентами. Для неоднородной системы та же ФСР даёт структуру: частное решение плюс вся однородная добавка.

Как строится на практике: систему приводят методом Гаусса к ступенчатому виду, базисные переменные выражают через свободные. Пример: $r=1$, уравнение $x_1+2x_2+3x_3=0$, неизвестных три — размерность решений $3-1=2$. Полагаем $(x_2,x_3)=(1,0)$: $x_1=-2$, вектор $v_1=(-2,1,0)$; полагаем $(0,1)$: $x_1=-3$, вектор $v_2=(-3,0,1)$. Проверка: $-2+2\cdot 1+0=0$, $-3+0+3=0$ — обе удовлетворяют. Общее решение: $x=C_1{v}_1+C_2{v}_2$ — плоскость через начало координат. Стандартная дисциплина: свободным переменным поочерёдно дают единичные наборы — так линейная независимость почти бесплатна. Полная практика — в уроке однородные СЛАУ, смежное понятие базиса — в термине базис.