📈 Матанализ

Арккотангенс

Q: Чему равен arcctg(tg 2)?

Не двойке: $\operatorname{tg} 2 = \operatorname{ctg}(\tfrac{\pi}{2} - 2)$… практичнее через арктангенс: $\operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 2) = \tfrac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2) = \tfrac{\pi}{2} - (2 - \pi) = \tfrac{3\pi}{2} - 2 \approx 2{,}71$. Проверка: это угол из $(0; \pi)$ с тем же тангенсом, что и двойка — сдвиг ровно на один период $\pi$.

англ. Arccotangent

Обратная функция к котангенсу на интервале (0; π): arcctg a возвращает угол из этого интервала; определён при любом a, убывает от π к 0.

Арккотангенс $arcctg a$ — угол из интервала $(0; π)$ , котангенс которого равен $a$ . Котангенс строго убывает на этом интервале и пробегает все действительные значения, поэтому арккотангенс определён при любом $a$ и однозначен. Опорные значения: $arcctg 0 = \frac{π}{2}$ , $arcctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arcctg 3 = \frac{π}{6}$ , $arcctg (- 1) = \frac{3 π}{4}$ . Функция убывает: большему аргументу соответствует меньший угол.

Связь с арктангенсом — дополнение до $π$ : $arcctg a = \frac{π}{2} - arctg a$ (при положительных $a$ обе ветки в первой четверти; при отрицательных — во второй). Уравнение $ctg x = a$ даёт одну серию $x = arcctg a + π k$ — период котангенса $π$ , и «минус-плюса», как у косинуса, не появляется. Проверка на числах: $ctg x = 3$ даёт $x = \frac{π}{6} + π k$ ; арккотангенс вернул канонический угол первой четверти. Смежные функции — арктангенс, арксинус, арккосинус.

arcctg a = t ⟺ ctg t = a, t \in (0; π); arcctg a = \frac{π}{2} - arctg a

определение через ветку убывания и связь с арктангенсом

Частые вопросы

Почему ветка арккотангенса (0; π), а не (−π/2; π/2)?

Потому что котангенс должен быть строго монотонным на ветке. На $(0; π)$ котангенс убывает от $+ \infty$ до $- \infty$ , пересекая каждое значение один раз. На $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ он убывает лишь на части интервала и рвётся в нуле — обратная функция была бы многозначной. Выбор ветки — договорённость, но она единая во всех учебниках.

Чему равен arcctg(tg 2)?

Не двойке: $tg 2 = ctg (\frac{π}{2} - 2)$ … практичнее через арктангенс: $arcctg (tg 2) = \frac{π}{2} - arctg (tg 2) = \frac{π}{2} - (2 - π) = \frac{3 π}{2} - 2 \approx 2, 71$ . Проверка: это угол из $(0; π)$ с тем же тангенсом, что и двойка — сдвиг ровно на один период $π$ .