📈 Матанализ

Арктангенс

Q: Чему равен arctg(tg 5π/4)?

Не $\tfrac{5\pi}{4}$: тангенс этого угла равен $1$, а арктангенс возвращает угол из $(-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2})$, где $\operatorname{tg} = 1$ при $\tfrac{\pi}{4}$. Итог: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \tfrac{5\pi}{4}) = \tfrac{\pi}{4}$. Разница ровно в период $\pi$ — тангенс его не различает, арктангенс выбирает каноническую ветку.

англ. Arctangent

Обратная функция к тангенсу на интервале (−π/2; π/2): arctg a возвращает угол из этого интервала; определён при любом a — барьера |a| ≤ 1 нет.

Арктангенс $arctg a$ — угол из интервала $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , тангенс которого равен $a$ . Тангенс строг по всему интервалу монотонности и пробегает все действительные значения, поэтому арктангенс определён при любом $a$ — в отличие от арксинуса и арккосинуса, барьера единицы здесь нет. Опорные значения: $arctg 0 = 0$ , $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arctg 3 = \frac{π}{3}$ , $arctg \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ ; функция нечётна, а на бесконечностях стремится к $\pm \frac{π}{2}$ .

В уравнениях арктангенс даёт одну серию: $tg x = a \Rightarrow x = arctg a + π k$ — у тангенса нет «минус-плюса», период вдвое короче. В прикладных задачах $arctg$ переводит наклон в угол: уклон дороги $12%$ соответствует $arctg (0, 12) \approx 6, 8°$ . В серии уравнения $tg x = a$ чаще встречаются табличные значения; полный алгоритм — в простейших тригонометрических уравнениях, формулы — в шпаргалке тригонометрических формул.

arctg a = t ⟺ tg t = a, t \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}), a \in R

определение; аргумент ничем не ограничен, значения — интервал длиной π

Частые вопросы

Почему у арктангенса нет ограничения |a| ≤ 1?

Потому что тангенс пробегает все действительные числа: на интервале $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ он растёт от минус бесконечности до плюс бесконечности. У синуса и косинуса значения зажаты в $[- 1; 1]$ — отсюда барьер у их обратных функций. У тангенса барьера нет, зато есть две вертикальные асимптоты — края интервала, к которым прижимается график арктангенса.

Чему равен arctg(tg 5π/4)?

Не $\frac{5 π}{4}$ : тангенс этого угла равен $1$ , а арктангенс возвращает угол из $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , где $tg = 1$ при $\frac{π}{4}$ . Итог: $arctg (tg \frac{5 π}{4}) = \frac{π}{4}$ . Разница ровно в период $π$ — тангенс его не различает, арктангенс выбирает каноническую ветку.