🌡️ Термодинамика

Уравнение Менделеева—Клапейрона

англ. Ideal gas law

Связь давления, объёма, массы и температуры идеального газа pV = (m/M)RT = νRT; один универсальный закон вместо трёх газовых, рабочий инструмент всей молекулярной физики.

Уравнение состояния — это договор газа с наблюдателем: заданы макропараметры — предсказано всё остальное. Уравнение Менделеева—Клапейрона $p V = ν R T = (m / M) R T$ связывает давление, объём, количество вещества и температуру идеального газа; $R = 8, 31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса. Из него как частные случаи выпадают все изопроцессы: Бойля—Мариотта при $T = const$ , Гей-Люссака при $p = const$ , Шарля при $V = const$ — запоминать их отдельно незачем, достаточно подставить условие. Записать можно и через концентрацию: $p = nk T$ , где $k = R / N_{A}$ — постоянная Больцмана. Фундамент — в уроке основы молекулярно-кинетической теории.

Живой расчёт: воздух в комнате $4 \times 5 \times 3$ м, то есть $V = 60$ м³, при $20^{\circ}$ C ( $293$ К) и нормальном давлении $1 0^{5}$ Па содержит $ν = p V / R T \approx 1 0^{5} \cdot 60/ (8, 31 \cdot 293) \approx 2460$ моль — около $71$ кг воздуха, целая мотоциклетная нагрузка в невидимой «подушке». Второй класс задач — сравнение состояний: $p_{1} V_{1} / T_{1} = p_{2} V_{2} / T_{2}$ , массы одинаковые, сокращаются; так проверяют баллоны, шины и дайвинг-бутыли, где температура после погружения отличается от температуры на берегу. Границы применимости честно очерчены: плотные газы и конденсация требуют моделей реальных газов — см. реальные газы, например уравнение Ван-дер-Ваальса.

p V = ν R T = \frac{m}{M} R T, p = nk T, \frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}

уравнение состояния и его две записи; сравнение двух состояний одной порции газа

Частые вопросы

Что такое универсальная газовая постоянная и почему она универсальна?

Это коэффициент пропорциональности между макроскопическим тепловым движением (температурой) и механическим эффектом (давлением), $R = 8, 31$ Дж/(моль·К). Она одинакова для всех газов, потому что относится к молю — порции, содержащей одно и то же число частиц $N_{A}$ ; при умножении на температуру даёт энергию теплового движения моля. Делением на $N_{A}$ получаем постоянную Больцмана $k = 1, 38 \cdot 1 0^{- 23}$ Дж/К — ту же постоянную в расчёте на одну молекулу.

Когда уравнение Менделеева—Клапейрона неприменимо?

Модель предполагает точки-частицы без взаимного притяжения и пренебрежимо малым собственным объёмом. Это ломается вблизи конденсации: пар при приближении к насыщению, газы под высоким давлением и низкими температурами, критическая область. Практический ориентир — приведённые плотности: при давлениях в десятки атмосфер идеальность заметно врёт, и для точных расчётов берут уравнение Ван-дер-Ваальса или таблицы реального газа. Для воздуха при комнатных условиях погрешность — доли процента, поэтому модель жива.