🌡️ Термодинамика

Распределение Больцмана

англ. Boltzmann distribution

Закон заселения состояний по энергии: концентрация частиц экспоненциально падает с ростом потенциальной энергии — от барометрической формулы до уровней атома.

В небоскрёбе жить предпочитают на нижних этажах: чем выше, тем меньше охотников, и убывает заселённость не линейно, а экспоненциально. Молекулы в поле тяжести расселись по той же схеме: распределение Больцмана утверждает, что концентрация частиц с потенциальной энергией $E$ пропорциональна $e^{- E / k T}$ . Для воздуха это барометрическая формула $n (h) = n_{0} e^{- m g h / (k T)}$ : поднялись на высоту $h$ — плотность упала в соответствующее число раз. Лестница энергий есть и без гравитации: вращательные и колебательные уровни молекулы заселяются тем же законом.

Масштаб высоты задаётся величиной $k T / (m g)$ : воздух при 300 К теряет половину плотности примерно за $6, 1$ км, а шкала полного спада — около $8, 8$ км. Тот же множитель $e^{- E / k T}$ управляет заселённостью возбуждённых состояний атома и константой химической реакции. Механика гравитации — в материале гравитация и орбиты, максвелловская половина полного распределения — в уроке распределение Максвелла, молекулярный фундамент — в основах МКТ, энергия в поле — в термине потенциальная энергия.

n (h) = n_{0} e^{- m g h / (k T)}, n (E) \propto e^{- E / (k T)}

распределение Больцмана: в поле тяжести концентрация падает экспоненциально с высотой

h

; в общем случае заселённость состояния с энергией

E

задаётся множителем

e^{- E / (k T)}

, где

m

— масса молекулы,

g

— ускорение свободного падения

Частые вопросы

Почему плотность воздуха убывает с высотой именно экспоненциально?

Каждый тонкий слой атмосферы держит вес всего, что над ним: давление на высоте $h + d h$ меньше давления на $h$ ровно на вес слоя. Разделив перепад на плотность, получаем дифференциальное уравнение, решением которого служит экспонента с показателем $- m g h / (k T)$ . Множитель $k T$ — мера тепловой прыти молекул: чем жарче, тем охотнее они забираются наверх, и падение плотности с высотой замедляется.

Как связаны распределения Больцмана и Максвелла?

Максвелловское — часть больцмановского, отвечающая за скорости: кинетическая энергия входит в экспоненту как $m v^{2} / (2 k T)$ , а интегрирование по всем направлениям добавляет множитель $v^{2}$ . Больцмановское распределение шире: оно работает для любой потенциальной энергии — высоты в поле тяжести, уровней атома, энергии связи. В отсутствие внешних полей всё сводится к максвелловской раскладке по скоростям.