🌡️ Термодинамика

Распределение Бозе–Эйнштейна

англ. Bose–Einstein distribution

Статистика частиц-коллективистов: бозоны заселяют одно состояние толпой — от планковского спектра чёрного тела до бозе–эйнштейновской конденсации атомного газа.

Одинокая нота хором звучит громче: бозоны — частицы-коллективисты, охотно заселяющие одно состояние толпой. Лазер — кричащий пример: фотоны в одной моде складываются когерентно. Математика коллективизма — распределение Бозе–Эйнштейна: среднее число частиц в состоянии с энергией $E$ равно $\overset{n}{ˉ} = 1/ (e^{(E - μ) / (k T)} - 1)$ . Минус в знаменателе меняет всё: когда $E$ приближается к $μ$ , заселённость уходит в бесконечность — уровень принимает неограниченную толпу частиц, и ни один фермион такого не позволяет.

Для фотонов $μ = 0$ , и формула немедленно даёт планковский спектр излучения чёрного тела — то самое, выведенное из статистики света. При охлаждении бозе-газа ниже критической температуры частицы валятся в основное состояние толпой — бозе–эйнштейновская конденсация, полученная в лаборатории в 1995 году. Квантовая статистика света — в уроке излучение чёрного тела, фотонная природа — в материале фотоэффект и на странице двойная природа частиц, сводка формул — в формулах кванта.

\overset{n}{ˉ} (E) = \frac{1}{e ^{(E - μ) / (k T)} - 1}, μ = 0 для фотонов

распределение Бозе–Эйнштейна: среднее число заполнения состояния с энергией

E

; при

μ = 0

и учёте плотности состояний получается планковский спектр излучения чёрного тела

Частые вопросы

Почему фотоны имеют нулевой химический потенциал?

Фотоны не сохраняются: стенки нагретой полости рождают и поглощают их сколько угодно, а равновесие устанавливается не по числу, а по температуре. Химический потенциал — плата за добавление частицы; для квантов с несохраняющимся числом плата обязана быть нулевой, иначе равновесие сдвигалось бы рождением или исчезновением частиц. Поэтому в формуле Планка остаётся чистая экспонента $e^{E / k T}$ , и спектр чёрного тела строится без подгоночных параметров.

Что такое бозе–эйнштейновская конденсация?

При охлаждении бозе-газа ниже критической температуры заметная, а затем макроскопическая доля частиц собирается в одном основном состоянии и ведёт себя как единый квантовый объект. Это не конденсация пара, а статистический переход: заселённость нулевого уровня обгоняет сумму всех возбуждённых. Конденсат предсказан Эйнштейном в 1924 году на основе статистики Бозе, реализован в 1995 году на атомах рубидия, охлаждённых до нанокельвинов.