Волны де Бройля: как электрон стал волной и остался частицей

Поставьте за двумя щелями счётчик электронов и выпускайте их строго по одному — раз в секунду. Каждый электрон оставляет ровно одну засветку: частица, без вариантов. Но оставьте установку работать час и взгляните на фотопластинку: из отдельных точек проступят полосы — та самая интерференционная картина, которую в оптике дают два когерентных источника. Одна частица — одна точка; миллион частиц — полосы. Выходит, отдельный электрон «виден» в одном месте, а распределён по многим сразу. Гипотезу, которая сводит обе половины этого фокуса в одну формулу, в 1924 году написал в диссертации 31-летний Луи де Бройль — и быстро получил за неё Нобелевскую премию.

Что предсказал де Бройль в 1924 году#

К тому моменту в оптике уже случился переворот: фотоэффект и эффект Комптона показали, что световая волна ведёт себя как поток частиц-фотонов с энергией $E=h\nu$ и импульсом $p=h/\lambda$. Обе истории разобраны в уроках про фотоэффект и эффект Комптона — там свет, век считавшийся волной, был пойман за частицу. Де Бройль задал встречный вопрос: если волна умеет притворяться частицей, почему частица не может притворяться волной? Симметрия настолько красива, что её стоило проверить, даже если заранее кажется, что для электрона ответ абсурден.

Для фотона формула была уже проверена — де Бройль просто распространил её на всё сущее. Электрону, протону, атому, да хоть пуле приписывается длина волны $\lambda =h/p$, где $h=6,63\cdot 10^{-34}$ Дж·с — та самая постоянная Планка. Пока импульс мал, волна крупная; разгоните частицу — волна сожмётся. Связь частоты и энергии та же, что у фотона: $E=\hslash \omega$, где $\hslash =h/2\pi$. Осталось придумать, как поймать эту волну за хвост.

Как измерить длину волны электрона: опыт Дэвиссона и Джермера#

Волну длиной в доли нанометра никакая решётка не поймает: штрихи решёток в сотни раз крупнее. Зато у кристаллов период решётки — сами межатомные расстояния, порядка 0,1 нм, то есть ровно то, что нужно. В 1927 году Дэвиссон и Джермер в лаборатории Bell направили пучок электронов на монокристалл никеля. Электроны, ускоренные напряжением 54 В, отражались от кристалла, а детектор обходил установку по дуге. Максимум отражения обнаружился не там, где предсказывала корпускулярная теория, а под углом 50° от падающего пучка — ровно как у рентгеновских лучей, отражающихся по законам волновой оптики.

1. 1
   Электрон разгоняется электрическим полем: вся работа поля идёт в кинетическую энергию, $eU=p^2/(2m)$, откуда импульс $p=\sqrt{2meU}$
2. 2
   Подставляем числа: $p=\sqrt{2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\cdot 54}\approx 3,97\cdot 10^{-24}$ кг·м/с
3. 3
   Длина волны де Бройля: $\lambda =h/p=6,63\cdot 10^{-34}/3,97\cdot 10^{-24}\approx 1,67\cdot 10^{-10}$ м $=0,167$ нм
4. 4
   Проверка по Брэггу–Вульфу, как для рентгена: $2d\sin \theta$ при $d=0,091$ нм и скользящем угле $65^{\circ }$ даёт $2\cdot 0,091\cdot 0,906\approx 0,165$ нм — совпадает с расчётом по формуле де Бройля
5. 5
   Вывод: электроны отразились от кристалла как волна с длиной ровно $h/p$. Кристалл сыграл роль дифракционной решётки

Через год Тартаковский в СССР и Дж. П. Томсон в Англии независимо пропустили пучок электронов сквозь тонкую плёнку толщиной в сотни атомов. На экране за плёнкой возникла система колец — точь-в-точь рентгенограмма Дебая. Дифракция на прохождение закрыла вопрос: волны де Бройля не артефакт отражения, а свойство частицы как таковая. Кстати, тонкие плёнки и кристаллы до сих пор служат главными «решётками» электронографии — по ним восстанавливают структуру поверхностей и белков.

Практический выход из короткой волны электрона — электронный микроскоп. При ускорении 100 кВ формула даёт $\lambda =1,227/\sqrt{10^5}\approx 0,004$ нм — в сто тысяч раз меньше видимого света, а разрешение, как известно из оптики, упирается именно в длину волны. Выигрыш в волне на пять порядков на практике превращается в три порядка по разрешению: электронный микроскоп видит отдельные атомы и белковые молекулы, световой — упирается в предел около 200 нм. Вся атомная «невидимая» структура на экранах электронных микроскопов — прямое следствие формулы де Бройля.

Почему пуля не интерферирует#

Если формула $\lambda =h/p$ работает для всего, где же волны у предметов вокруг? Нигде не спрятаны: они есть, но чудовищно малы. Волна заметна только тогда, когда её длина сопоставима с периодом структуры, на которой она рассеивается: свет с 500 нм дифрагирует на штрихах в микрон, рентген с 0,1 нм — на атомных плоскостях. Сравним характерные длины волн де Бройля.

Пуля при $\lambda \sim 2\cdot 10^{-34}$ м не может «не помещаться» в мире деталей размером в протон $10^{-15}$ м: чтобы увидеть её интерференцию, понадобилась бы решётка со штрихами в квинтиллион раз мельче атома. Так что дуализм не «отключается» у больших тел — он просто уходит за пределы всякой измеримости. Отсюда и рабочее правило: волновые свойства ищите у лёгких и медленных, корпускулярные — у тяжёлых и быстрых.

Волновой пакет и групповая скорость частицы#

Плоская волна $e^{i(kx-\omega t)}$ заполняет всю Вселенную — частица в ней размазана от «минус» до «плюс» бесконечности. Реальный электрон локализован, и его волна — это суперпозиция множества плоских волн с близкими $k$: волновой пакет. В пределах пакета волны усиливают друг друга, снаружи — гасят. Ширина пакета и разброс волновых чисел связаны жёстко: чем уже пакет, тем шире нужна гамма гармоник. Из этой связи позже вырастет принцип неопределённости.

Пакет движется не с фазовой скоростью отдельных волн, а с групповой — скоростью огибающей. Для свободной частицы с $E=p^2/2m$ и $\omega =E/\hslash$ дифференцирование даёт $v_{\text{гр}}=p/m=v$: сгусток волны летит ровно с той скоростью, с какой по Ньютону должна лететь частица. Классическая механика получается из волновой как предел — этого де Бройль и добивался.

Электроны по одному: что рисует полосы#

Самая драматичная проверка случилась в 1989 году: группа Тономуры выпускала электроны через двойную щель буквально по одному, следя за каждым вспышкой в электронной бипризме. Результат совпал с задачей в начале урока: каждый электрон оставляет одну случайную точку, но после тысяч прилётов точки складываются в полосы. Интерференция есть, даже когда электронам не с чем интерферировать, кроме самих себя.

Куда попадёт конкретный электрон — не знает никто: ни прибор, ни природа не хранят этого ответа. Зато доля попаданий в каждое место воспроизводится идеально и совпадает с квадратом амплитуды волны: там, где волна гасится, электроны не прилетают вовсе, даже по одному. Отдельное событие — корпускула; распределение множества событий — волна. На этом стыке и стоит вся квантовая механика, а её формальный каркас — волновая функция.

Принцип дополнительности: как уживаются волна и частица#

Бор в 1927 году предложил назвать такое устройство мира дополнительностью. Волновая и корпускулярная картины не противоречат друг другу и не сливаются в одну — они дополняют: полную картину даёт только обе, а что именно проявится, диктует постановка опыта. Спросите у электрона, где он был, — и прибор зафиксирует частицу в точке. Спросите, куда он может попасть, — и статистика прилётов нарисует волну.

Словам «волна» и «частица» нечего делить между собой: оба понятия вынесены из макромира, где они не пересекались — рябь на воде и дробь в ружье. Электрон не обязан быть похожим ни на то, ни на другое; он похож на себя, а наши термины описывают лишь то, какие его свойства проявляются в каком опыте. Формализм, в котором оба поведения живут без противоречия, — это волновая функция: амплитуда распространяется как волна, детектируется — как частица.

Знаменитое следствие: перекройте одну из двух щелей — и полосы исчезнут. Чтобы интерференция сложилась, электрон должен «пройти» обе щели как волна; любое устройство, фиксирующее, через которую щель он пошёл, превращает его в частицу с чистой траекторией — и убивает картину. Это не черта приборов, а фундаментальное свойство: знание пути и интерференция взаимно исключаются. Дальше по курсу та же логика станет количественной: из ширины пакета вырастет соотношение неопределённостей, а волну заставят жить по уравнению — начните со следующего урока про принцип неопределённости Гейзенберга, затем переходите к уравнению Шрёдингера.