Принцип неопределённости Гейзенберга: формулы и примеры

Пропустите пучок электронов через узкое отверстие — диафрагму — и начните его сужать. Пятно на экране за отверстием сначала уменьшается: пучок становится тоньше. Но с некоторого момента пятно вдруг начинает расползаться обратно, и чем сильнее вы сжимаете щель, тем шире становится пятно. Это дифракция: сузили щель до длины волны де Бройля — волна развернулась в стороны. Соотношение неопределённостей Гейзенберга — количественная форма этого «сузил — стало хуже». Оно говорит: у частицы невозможно одновременно иметь точную координату и точный импульс, и это не ограничение инструментов, а устройство самих состояний.

Как выглядит соотношение и откуда оно берётся#

$\Delta x$ здесь — среднеквадратичный разброс координаты в данном состоянии, то же для $\Delta p$: не погрешность линейки и не дрожание руки, а ширина распределения, с которым частица существует. Если состояние хорошо описывается нормальным распределением, $\Delta$ — это его сигма. Квантовая механика утверждает: ни в одном состоянии произведение этих двух разбросов не опускается ниже $\hslash /2=0,53\cdot 10^{-34}$ Дж·с, где $\hslash =1,05\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Вывод виден прямо из волнового пакета — сгустка волн из разложения Фурье. Волновое число и координата — пара Фурье, и для любой волны ширина пакета и разброс волновых чисел связаны как $\Delta x\cdot \Delta k\ge 1/2$. Осталось вспомнить де Бройля: $p=\hslash k$, значит $\Delta p=\hslash \Delta k$, и на обе части ложится тот самый $\hslash$. Сжали пакет в десять раз — спектр импульсов расширился в десять раз. Никакой мистики: так живёт любая волна, от звуковой до электронного пучка.

Пара уточнений, которые экономят баллы. Первое: в формуле стоит $\hslash$, а не $h$ — именно потому, что разбросы считаются через среднеквадратичные отклонения гармоник, а Фурье-сопряжение даёт константу в $2\pi$ раз мельче, чем для простых ширин. Второе: соотношение разрешает сколь угодно точное знание одной величины. Состояние с точно заданным импульсом существует — это плоская волна $e^{ikx}$; но в нём координата полностью размыта, $\Delta x=\infty$. Запрет не на точность, а на одновременную точность пары.

Мысленный опыт с микроскопом: почему виновата не техника#

Гейзенберг доказал формулу себе и скептикам таким опытом. Хотите увидеть электрон — осветите его и сфотографируйте рассеянный свет. Разрешение микроскопа не лучше $\lambda /2$: чем короче волна света, тем точнее координата. Но коротковолновый фотон несёт большой импульс $p=h/\lambda$ — тот самый, что разбросал электрон в опыте Комптона, — и при рассеянии передаёт отдачу, раскачивая импульс электрона непредсказуемо. Возьмёте длинноволновый свет — сбережёте импульс, но потеряете координату в размытом пятне. Перемножьте две неизбежности — и получите $\Delta x\cdot \Delta p\sim h$.

Прикинем цену вопроса в числах. Чтобы локализовать электрон до $\Delta x=0,1$ нм, нужен фотон с длиной волны порядка той же величины — жёсткий рентген или гамма-квант. Такой фотон несёт импульс $p=h/\lambda \approx 6,6\cdot 10^{-24}$ кг·м/с — втрое больше импульса самого электрона на боровской орбите. После столкновения скорость электрона изменилась бы на десятки процентов, и знать её прежнее значение бесполезно. Мягкий видимый фотон, наоборот, толкает почти незаметно, но его волновой пакет размазан на сотни нанометров — объект «виден» лишь туманным пятном.

• Короткая волна — точная координата, но большая отдача и большой разброс импульса
• Длинная волна — щадящий импульс, но координата размывается до $\lambda /2$
• Произведение двух цен не меняется: природа берёт плату за локализацию в валюте импульса

Тонкость в том, что микроскоп — лишь иллюстрация. Улучшение приборов ситуацию не спасает: замена света на электронный пучок меняет только цену за единицу точности, а не сам факт цены. В экспериментах, где измерению вообще нечего «толкать» — например, когда импульс второй из двух запутанных частиц узнают, не трогая первую, — произведение разбросов всё равно не падает ниже $\hslash /2$. Ограничение сидит в самих состояниях, а не в процессе измерения.

Оценка: электрон в атоме#

Считать соотношение удобно в два действия: задать, где частица заперта, и получить минимальный разброс импульса. Пройдём классический расчёт для электрона в атоме — он объясняет, почему атом вообще не схлопывается.

Вывод: электрон в атоме — не шарик на орбите. Его импульс определён лишь с разбросом в четверть собственного значения, а «траектория» размыта на весь атом. Именно поэтому квантовая механика отказалась от орбит Бора в пользу орбиталей — распределений вероятности, о которых идёт речь в уроке про атом водорода.

Оценка уровня «на пятёрку»: возьмём в качестве $\Delta x$ радиус атома $a$ и потребуем, чтобы полная энергия $E(a)={\hslash }^2/(2m{a}^2)-e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$ была минимальна. Дифференцирование по $a$ даёт $a\approx 0,05$ нм — боровский радиус, а энергия при этом порядка $-13,6$ эВ. Соотношение неопределённостей не только запрещает траектории — оно само, без всякого уравнения Шрёдингера, угадывает размер и энергию атома.

Почему пылинке всё равно#

Проделаем ту же оценку для тела побольше. Пылинка массой 1 нг ($10^{-12}$ кг) локализована под микроскопом с точностью $\Delta x=1$ мкм. Минимальный разброс импульса $\Delta p\ge 1,05\cdot 10^{-34}/(2\cdot 10^{-6})=5,3\cdot 10^{-29}$ кг·м/с, значит разброс скорости $\Delta v=\Delta p/m\approx 5,3\cdot 10^{-17}$ м/с. Даже за год (3·10⁷ с) такая неопределённость сдвинула бы пылинку на $1,7\cdot 10^{-9}$ м — пара нанометров при точности измерения в микрон. Разбросы у макротел растут не потому, что формула меняется, а потому что делить $\hslash$ приходится на большую массу и большую координату.

Проверьте среднюю строку сами: $\Delta v=\hslash /(2m\Delta x)=1,05\cdot 10^{-34}/(2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 10^{-4})\approx 0,6$ м/с при скоростях пучка в тысячи метров в секунду — поправка в десять тысяч раз меньше. Граница между квантовым и классическим миром не пролегает по размеру «на глазок»: её положение даёт именно произведение $\hslash /(2m\Delta x)$ в сравнении с характерными скоростями задачи.

Кстати, о разбросах: $\Delta x$ и $\Delta p$ — это среднеквадратичные отклонения, старые знакомые из статистики: квадраты отклонений, усреднённые по состоянию. Для гауссова пакета распределение импульсов тоже гауссово — сжимая его в координатах, вы растягиваете в импульсах ровно как требует неравенство. Соотношение неопределённостей — младший брат неравенства Фурье, переведённый с языка гармоник на язык физических величин через $p=\hslash k$.

Нулевые колебания, устойчивость атома и ширина спектральных линий#

Первое следствие: частица не может лежать на дне в полной неподвижности. Полный покой означает $\Delta p=0$ и одновременно $\Delta x=0$ — прямое нарушение соотношения. Упав на ядро, электрон локализовался бы в $\Delta x\sim 10^{-14}$ м, и неопределённость импульса заставила бы его иметь кинетическую энергию порядка ${\hslash }^2/(2m(\Delta x{)}^2)\approx 100$ МэВ — притяжение Кулона в сотни раз слабее. Баланс «сжатие дороже размазанности» останавливает атом на размере в десять тысяч раз больше ядра. Минимальную энергию покоя из-за этого эффекта называют энергией нулевых колебаний: даже при абсолютном нуле частица в яме движется.

Та же арифметика у гармонического осциллятора: минимальная энергия $E_0=\hslash \omega /2$ — половина кванта вместо целого. Отсюда нулевые колебания решётки твёрдого тела: даже при абсолютном нуле атомы дрожат, и эту дрожь видно в рассеянии нейтронов. Экзотический пример на виду: жидкий гелий не замерзает под атмосферным давлением даже при нуле кельвинов — лёгкость атомов делает нулевую дрожь такой сильной, что она побеждает межатомное притяжение. Придавить её удаётся лишь давлением в десятки атмосфер.

Второе следствие — спектроскопическое. Возбуждённый уровень атома живёт конечное время $\tau \approx 10^{-8}$ с, после чего атом спонтанно излучает. Энергия состояния, живущего конечное время, размыта: $\Delta E\ge \hslash /(2\tau )\approx 5,3\cdot 10^{-27}$ Дж. В частотах это $\Delta \nu =\Delta E/h\approx 8$ МГц, а при длине волны 600 нм — уширение линии примерно на 0,01 нм. Такая естественная ширина есть у каждой спектральной линии и ставит фундаментальный предел точности атомных часов и лазеров: она не вычитается никаким охлаждением.

Инженерное эхо: атомные часы держат на узких переходах, и естественная ширина — их потолок точности; лазеры на одиночных ионах бьются в тот же предел. Обратная связь тоже работает: спектроскописты читают времена жизни атомных уровней прямо по ширине линий, не касаясь атома ничем, кроме света. Чем дольше живёт состояние — тем уже линия; формула $\Delta E\cdot \Delta t\ge \hslash /2$ превращается из ограничения в измерительный инструмент.

• Электрон не падает на ядро: сжатие до $10^{-14}$ м стоило бы ~100 МэВ кинетической энергии
• Основное состояние ямы имеет $E_1>0$ — нулевые колебания не выключаются даже при $T=0$
• Спектральные линии не бесконечно тонки: время жизни уровня размывает его энергию на мегагерцы

Следующий шаг — научиться вычислять состояния вместо того, чтобы оценивать их прикидками: у волновой функции есть уравнение движения, и это уравнение Шрёдингера. Оттуда уровни энергии выпадут сами — начните с самой простой задачи про частицу в яме.