Туннельный эффект: частица проходит сквозь непроходимый барьер

Солнце светит около 4,6 миллиарда лет, и запасов водорода ему хватит ещё на столько же. Источник света — слияние протонов. Но прикинем по классической механике: чтобы два протона слиплись, их надо столкнуть лоб в лоб на расстоянии $10^{-15}$ метра, а кулоновское отталкивание на этом пути образует барьер высотой в сотни килоэлектронвольт. Средняя тепловая энергия частиц в сердце Солнца — порядка килозлектронвольта, дефицит в сотни раз. По классике протоны обязаны отскакивать вечно, и Солнце погасло бы задолго до появления динозавров. Не погасло. Спасло физику явление, о котором классическая механика не подозревала, — туннельный эффект.

Почему шарик сквозь стену не проходит, а электрон — может#

Классическая картина проста. Частица с энергией $E$ налетает на потенциальный барьер высотой $U_0>E$ — горку на её пути. До точки, где $U(x)=E$, она ещё движется, там тормозится до нуля и закатывается обратно. Сколько бы попыток ни было, перевал не берётся: у неё просто не хватает энергии. Шарик у горки, волейбольный мяч у сетки — вся классика в одной картинке, и никакой двусмысленности в ней нет.

Квантовая механика заменяет траекторию волновой функцией. В уравнении Шрёдингера внутрь барьера, где $U_0>E$, подставляется не ноль, а решение особого вида: не синусоида, а экспонента $\psi \sim e^{-\kappa x}$, затухающая с глубиной. Пси-функция внутри запретной зоны мала — но не нулевая. А если барьер имеет конечную ширину $L$, то на его задней стенке $\psi$ ещё отлична от нуля — и за барьером волна продолжает жить, только с меньшей амплитудой. Частица, которую классика однозначно развернула бы, в квантовом мире иногда оказывается по ту сторону.

Наглядная аналогия — частица в потенциальной яме: там волновая функция не обрывается на стенках, а просачивается в глубь стены, где классической частице делать нечего. Барьер — та же яма, вывернутая наизнанку: волне дают чуть-чуть «пожить» в запретной зоне, и, если зона тонкая, она выходит с другой стороны живой. Степень этого «чуть-чуть» и измеряет коэффициент прозрачности.

Отношение потока прошедших частиц к потоку падающих называют коэффициентом прозрачности $D$. Для барьера произвольной формы он вычисляется одним интегралом по запрещённой области, но физику явления лучше всего показывает простейший случай — прямоугольный барьер.

Как решают задачу о прямоугольном барьере#

Постановка: потенциальная энергия равна нулю всюду, кроме полосы $0<x<L$, где она равна $U_0$, и налетающая частица имеет $E<U_0$. Пространство делится на три области, и в каждой уравнение Шрёдингера решается отдельно:

• область I ($x<0$): падающая волна $e^{ikx}$ плюс отражённая $A{e}^{-ikx}$ — как от упругой стенки;
• область II ($0<x<L$): сумма $B{e}^{\kappa x}+C{e}^{-\kappa x}$ — две экспоненты, растущая и затухающая, без колебаний;
• область III ($x>L$): только прошедшая волна $D_{\psi }{e}^{ikx}$ — отражаться там уже не от чего.

Здесь $k=\sqrt{2mE}/\hslash$ — волновое число свободного движения, а $\kappa =\sqrt{2m(U_0-E)}/\hslash$ — показатель затухания внутри барьера. Дальше — честная алгебра: волновая функция и её производная непрерывны на обеих границах, это даёт четыре уравнения для амплитуд. Из них и находится искомое отношение $D=|D_{\psi }{|}^2/1$ — вероятность прохождения. Полная формула громоздка (там гиперболический синус), но при $\kappa L\gg 1$ она сжимается до одного множителя:

Точный ответ умножает экспоненту на предэкспоненциальный множитель порядка единицы — на фоне экспоненты он почти не виден, поэтому все оценки в физике делают по этой формуле. Разберём её по кусочкам:

Насколько сильно ширина барьера режет прозрачность#

Экспонента наказывает за небрежность. Увеличили ширину $L$ вдвое — показатель удвоился — и $D$ возвёл себя в квадрат: было 0,36, стало 0,13. Увеличили в десять раз — прозрачность упала в $e^9$ ≈ 10 000 раз. Наоборот, лёгкая частица (маленькое $m$) туннелирует заметно охотнее тяжёлой: у электрона и протона при прочих равных показатели различаются в 43 раза. Потрогайте это руками на графике: кривая $e^{-aL}$ и её квадрат — судьба барьера вдвое шире.

1. 1
   Показатель затухания: $\kappa =\sqrt{2m(U_0-E)}/\hslash =\sqrt{2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}/1,05\cdot 10^{-34}\approx 5,1\cdot 10^9$ м⁻¹. На одном метре волна гасится в $e^{5\cdot 10^9}$ раз — вот почему туннель живёт только в наномире.
2. 2
   Ширина $L=0,1$ нм (размер атома): показатель $2\kappa L=1,02$, поэтому $D\approx e^{-1,02}\approx 0,36$. Почти треть частиц проходит — барьер для электрона почти прозрачен.
3. 3
   Удвоим ширину: $L=0,2$ нм, показатель $2,05$, $D\approx e^{-2,05}\approx 0,13=(0,36{)}^2$. Экспонента в действии.
4. 4
   Ширина $L=1$ нм: показатель $10,2$, $D\approx e^{-10,2}\approx 3,5\cdot 10^{-5}$. Один электрон из тридцати тысяч. Мизер: те же самое килоэлектронвольт дефицита, но барьер на десять атомов шире — и проход закрыт.

За пределами лаборатории туннель тоже работает. В химии и биологии протоны и электроны нередко «прошивают» барьеры в реакциях переноса заряда: ферментные реакции ускоряются в том числе потому, что лёгкие частицы туннелируют между активными центрами, а не «переползают» их макроскопически. Редкие туннельные перескоки протонов в парах оснований ДНК рассматривают и как один из механизмов мутаций. Экспонента $e^{-2\kappa L}$ с её чувствительностью к массе частицы решает, кто в таких процессах успевает, а кто вечно отскакивает.

Где туннельный эффект работает в природе и технике#

Альфа-распад. α-частица (ядро гелия) сидит в потенциальной яме дочернего ядра, а вылететь ей мешает кулоновский барьер высотой 20–30 МэВ. По классике ядро с энергией α-частицы 4–9 МэВ — вечная тюрьма. По квантовой — барьер просто медленно проседает: ядро каждый «тик» пытается туннелировать, и однажды пробивается. Гамов в 1928 году показал, что именно экспонента из формулы прозрачности объясняет чудовищный разброс времён жизни α-радиоактивных ядер — от микросекунд до $10^{17}$ лет при почти одинаковой энергии частиц.

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Между металлической иглой и поверхностью держат зазор около нанометра и прикладывают напряжение. Электроны туннелируют через вакуумный барьер, и ток экспоненциально зависит от зазора: минус ангстрем — ток падает примерно в десять раз. Прибор чувствует отдельные атомы: именно СТМ впервые показал миру картину поверхности кремния атом за атомом. За него Бинниг и Рорер получили Нобелевскую премию 1986 года — всего пять лет спустя после изобретения.

Туннельный диод. В полупроводниковом p–n-переходе с сильным легированием зоны перекрываются настолько, что электроны туннелируют прямо сквозь запрещённую зону. Вольт-амперная характеристика получает участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением: больше напряжение — меньше ток. Эсаки открыл эффект в 1958-м и получил Нобелевскую премию в 1973-м; диоды до сих пор работают в сверхбыстрой коммутации.

Холодная эмиссия электронов. Сильное внешнее поле (вольты на нанометр) наклоняет потенциальный барьер у поверхности металла — и вместо высокой стены остаётся тонкий треугольный клин. Электроны выходят в вакуум при комнатной температуре, без нагрева катода: это автоэмиссия по Фаулеру–Нордгейму, основа автоэмиссионных катодов и остроконечных источников электронов. Механизм тот же, что и у выхода электрона из металла в фотоэффекте, только свет заменён полем.

Термоядерные реакции в звёздах. Возвратимся к началу. Два протона в ядре Солнца не перепрыгивают кулоновский барьер — они туннелируют сквозь него. Вердикт классики «слияние невозможно» исправляется на «слияние редко»: вероятность ничтожна, зато протонов в Солнце $10^{57}$, и редких событий хватает. Туннель плюс длинный хвост максвелловского распределения скоростей (см. нормальное распределение) образуют так называемое гамовское окно — диапазон энергий, где слияние идёт эффективнее всего. Малая туннельная вероятность — и причина того, что Солнце горит миллиарды лет, а не сгорает мгновенно: природа отрегулировала темп термояда до комфортного.

Туннельный эффект — первый рубеж, где классика не просто уточняется, а заменяется. Дальше та же история продолжается на следующем уровне: из волновых функций собирается атом. Как из решения уравнения Шрёдингера и квантования момента рождаются уровни энергии и вся таблица Менделеева — в уроке атом водорода: уровни и квантовые числа. Прежде чем идти дальше, потренируйтесь считать $D$: подставьте в формулу протон вместо электрона при тех же $U_0-E=1$ эВ и $L=0,1$ нм и убедитесь, что барьер для него в $e^{42}$ раз страшнее. Ответ подскажет, почему химия управляется электронами, а не ядрами.