Эффект Комптона и импульс фотона: как свет стал частицей

Хвост кометы всегда смотрит от Солнца, даже когда комета летит к нему: пылевую часть хвоста буквально сдувает свет — фотоны отдают свой крошечный импульс миллиардам пылинок. Звучит абсурдно: свет ничего не весит, как он может толкать? А может: у фотона нет массы покоя, зато есть энергия и импульс. В 1923 году Артур Комптон поставил опыт, где этот импульс был измерен по-настоящему, до пикометров, — и волновая теория света, потрясающе работавшая в интерференции, в этом опыте сдалась без боя.

Почему у света есть импульс#

Вывод занимает две строки из теории относительности. Связь энергии, импульса и массы для любой частицы:

Фотон движется со скоростью света, а значит его масса покоя $m=0$ — иначе формула взорвалась бы. Остаётся $E=pc$, то есть

Оценка для видимого света: фотон с $\lambda =500$ нм несёт $p=6,63\cdot 10^{-34}/5\cdot 10^{-7}\approx 1,3\cdot 10^{-27}$ кг·м/с. Крошечная величина, но при излучении и поглощении света импульс обязан передаваться: законы сохранения — импульс и сохранение — работают и на свету. Каждый отражающийся или поглощающийся фотон толкает пластину, как мяч толкает стену.

Сравните энергетические масштабы двух диапазонов: видимый фотон несёт $E=1240/500\approx 2,5$ эВ, а рентгеновский с $\lambda =20$ пм — уже $62$ кэВ, в двадцать пять тысяч раз больше. Этот запас энергии — ключ ко всей теме: мягкий видимый фотон при столкновении с электроном теряет слишком малую долю, чтобы её заметить, а жёсткий рентгеновский меняется ощутимо. Поэтому все решающие опыты по столкновениям света с веществом ставили на рентгене — там квант достаточно тяжёл, чтобы «ударить» электрон по-настоящему.

Как свет давит: опыты Лебедева#

Если у света есть импульс, он должен давить на поверхности. При поглощении фотона пластинка забирает его импульс $p$; при отражении фотон меняет импульс на $-p$, и пластинке достаётся вдвое больше. Отсюда давление света: на поглощающей поверхности $P=I/c$, на зеркале —

Числовой пример: солнечный свет над атмосферой несёт $I\approx 1,36$ кВт/м². На зеркало давит $P=2\cdot 1360/3\cdot 10^8\approx 9\cdot 10^{-6}$ Па — девять микропаскалей, в десять миллиардов раз меньше атмосферного. Измерить такое — подвиг: Петру Лебедеву в 1900 году пришлось строить крутильные весы с крылышками толщиной в доли миллиметра и выковыривать давление из эффекта радиометрических подделок (нагретый газ отдаёт стены). Он справился, и давление света на твердое тело стало измеренным фактом. А на кометах его видят все желающие.

Полезно взглянуть на давление глазами фотонов. На квадратный метр зеркала в секунду падает энергия $I$, значит фотонов — $I/E$ штук, каждый приносит импульс $p=E/c$ и уносит столько же обратно. Суммарно поверхность получает $2I/c$ ньютонов на квадратный метр — картина с мячиками даёт ровно то же, что волны Максвелла. Такой двойной счёт — хорошая проверка: две разные картины дают один и тот же ответ на хорошо поставленный вопрос, и именно поэтому давление света не выбирало между теориями. Выбор сделает только Комптон.

В чём суть опыта Комптона#

Комптон направил монохроматический рентген с длиной волны около 71 пм на графит и фотографировал рассеянное излучение под разными углами. В рассеянном свете обнаружились две линии: исходная длина волны и новая, смещённая в длинную сторону. Длину волны Комптон мерял по дифракции на кристалле — так что волновой инструмент здесь соседствует с частицей-фотоном, и это хороший тон всей квантовой оптики. Причём смещение подчинялось убийственно простой закономерности:

Комбинация $h/(m_{e}c)$ называется комптоновской длиной волны электрона и равна 2,43 пм. Отсюда ориентиры для экзамена: при рассеянии на $90^{\circ }$ сдвиг $\Delta \lambda =2,43$ пм, при заднем рассеянии на $180^{\circ }$ — максимум $4,86$ пм, при нулевом угле сдвига нет. И заметьте, чего в формуле нет: интенсивности, времени облучения, материала рассеивателя. Длина волны рассеянного света не «наращивается» со временем — она сразу фиксирована углом.

Как из законов сохранения выходит формула#

Картина Комптона проста: фотон сталкивается с электроном, как бильярдные шары. Электрон в атоме с слабосвязанной оболочкой ведёт себя как свободный, значит достаточно двух законов сохранения. Запишем энергию (с учётом релятивистской механики электрона) и импульс:

1. 1
   Сохранение энергии: $\hslash \omega +m_e{c}^2=\hslash {\omega }^{\prime }+\gamma m_e{c}^2$, где $\gamma$ — релятивистский фактор электрона отдачи
2. 2
   Сохранение импульса: $\hslash \vec{k}=\hslash {\vec{k}}^{\prime }+{\vec{p}}_e$, где $\vec{k}$ и ${\vec{k}}^{\prime }$ — волновые векторы фотона до и после
3. 3
   Возводим импульсное равенство в квадрат: $p_e^2{c}^2=(\hslash \omega {)}^2+(\hslash {\omega }^{\prime }{)}^2-2{\hslash }^2\omega {\omega }^{\prime }\cos \theta$
4. 4
   Из энергетического равенства: $p_e^2{c}^2=(\hslash \omega +m_e{c}^2-\hslash {\omega }^{\prime }{)}^2-m_e^2{c}^4$
5. 5
   Приравниваем правые части и сокращаем: $2{\hslash }^2\omega {\omega }^{\prime }(1-\cos \theta )=2m_e{c}^2\hslash (\omega -{\omega }^{\prime })$
6. 6
   Делим на $\hslash \omega {\omega }^{\prime }$, переходим к длинам волн $\omega /c=2\pi /\lambda$ и получаем ${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )$

Обратите внимание, откуда в ответе берётся $2\pi$: дробь $\hslash /c$ после перехода от частот к длинам волн превращается в $h/(m_{e}c)$. Вывод не требует никакой информации о том, «как устроен» электрон: только сохранение энергии и импульса. Поэтому формула Комптона — одно из самых чистых доказательств, что фотон — полноценная частица с импульсом $h/\lambda$.

Заодно вывод отвечает и на вопрос, куда девается энергия фотона: разность $E-E^{\prime }$ — это кинетическая энергия электрона отдачи, который вылетает из графита и может быть зарегистрирован в камере Вильсона. В опыте Комптона наблюдали именно следы электрона отдачи рядом с рассеянным фотоном: обе ветви столкновения видны независимо. Когда два следа одного события совпадают по энергии и углу с точностью расчёта, спор о природе света закрывается сам собой.

Почему волна не объясняет Комптона#

Соберём доводы в одну картину. По классической теории электрон в поле волны качается с частотой волны и переизлучает на той же частоте: рассеянный свет обязан остаться монохроматичным. Если же предположить, что электрон постепенно забирает энергию из волны, то частота переизлучённого света должна плавно снижаться со временем, и сдвиг зависел бы от яркости лампы и длительности облучения. Комптон ослаблял пучок в миллионы раз — сдвиг не трогался.

Фотонная картинка объясняет всё сразу, включая деталь, о которой молчат учебники: исходная линия в рассеянном свете тоже присутствует. Часть фотонов рассеивается на крепко связанных внутренних электронах, эффективная масса которых — масса всего атома, в десятки тысяч раз больше массы электрона, и комптоновская длина волны для такого «тяжёлого шара» исчезающе мала. Отсюда и сдвоенная линия: на свободных электронах — сдвиг по формуле, на связанных — почти без сдвига.

Волна или частица: что в итоге про свет#

Теперь у нас есть полная коллекция фактов, и она упрямо двоится. Интерференция и дифракция (уроки интерференция света и дифракция света) выполняются только для волн: одиночный фотон в опыте с двумя щелями интерферирует сам с собой. Фотоэффект и эффект Комптона выполняются только для порций: свет обменивается энергией и импульсом с веществом квант за квантом. Никакого противоречия в этом нет — противоречие было лишь в ожидании, что свет обязан быть «чем-то одним».

Наглядная книга дуализма — относительный масштаб. В столкновениях (фотоэффект, Комптон) фотон общается с веществом «порциями», и его целостность — как у частицы. При распространении через оптическую систему с размерами порядка многих длин волн он ведёт себя как волна — складывается амплитудами, а не вероятностями. Современная формулировка соединяет оба лица: фотон движется как волна амплитуды вероятности, а поглощается и испускается — всегда целиком, порцией. Мост отсюда к веществу перекинет Луи де Бройль: если свет — волна частиц, то и частицы должны уметь быть волнами. Это уже территория квантовой механики — и там правила, выученные на свете, сработают ещё раз.

Следующий шаг — та же двойственность у вещества: если фотон ведёт себя как частица в одних опытах и как волна в других, то электрон, может быть, тоже умеет интерферировать? Квантовая физика отвечает «да», и это уже не оптика, а новая механика: продолжение сюжета в уроке двойственная природа частиц. А для повторения всей линии «квант рождается в излучении» полезен урок тепловое излучение и абсолютно чёрное тело.