Дифракция света: щель, решётка и критерий Рэлея в задачах

Компакт-диск хранит музыку в ямках микронного размера, а выглядит как радужное зеркало. Никакой призмы внутри нет: дорожки с ямками — это дифракционная решётка, и каждый угол взгляда выводит на поверхность свою длину волны. Тем же способом природа красит крылья стрекоз и перламутр раковин. Дифракция — огибание светом краёв препятствий и складывание волны самой с собой — работает всегда, просто до узких щелей и решёток её разглядеть негде. Строгое определение и границы применимости — в словарной статье о дифракции света.

Почему свет всё-таки заходит за угол?#

Принцип Гюйгенса–Френеля: каждую точку волнового фронта можно считать источником вторичных сферических волн, а реальную волну — их интерференционной суммой. Отсюда сразу видно, когда дифракция заметна: если препятствие много больше длины волны, вторичные волны гасят друг друга во всех направлениях, кроме прямого — лучевая оптика работает. Если размер щели сравним с $\lambda$, края щели становятся новыми источниками, и свет расползается веером.

Отсюда и разница между звуком и светом: длина звуковой волны — сантиметры и метры, поэтому звук огибает угол дома свободно, а свет с его $\lambda \sim 0,5$ мкм держится «прямо». Историю вопроса решили на спор: Пуассон вычислил из теории Френеля, что в центре тени круглого диска должно светиться яркое пятно, и поднёс это как абсурд. Араго тут же поставил опыт — пятно нашлось. Его до сих пор зовут пятном Пуассона.

Что такое зоны Френеля?#

Дифракцию считают в двух режимах. Если экран далеко или за линзой (лучи почти параллельны) — это дифракция Фраунгофера, её формулы просты, и именно она стоит за решёткой. Вблизи препятствия, где кривизной фронта пренебречь нельзя, работает дифракция Френеля — картины сложнее, но именно она объясняет, почему тень от монеты не гладкая. Мост между режимами — метод зон Френеля.

Френель предложил считать дифракцию на круглом отверстии вручную: разбить открытую часть фронта на кольцевые зоны так, чтобы путь от края зоны до точки наблюдения отличался от пути от её центра на $\lambda /2$. Соседние зоны в точке наблюдения гасят друг друга. Открыли нечётное число зон — в центре светло; чётное — темно, хотя отверстие стало больше. Отсюда кольца, «мигающие» при расфокусировке лазерного пятна, и общий вывод: интенсивность в точке зависит не только от того, сколько света прошло, но и от того, с какими фазами фрагменты фронта добрались до этой точки.

Как одна щель режет свет на полосы?#

Поставим на пути света щель шириной $b$ и посмотрим на дальний экран (дифракция Фраунгофера — в параллельных лучах). Разобьём щель мысленно на узкие полоски-источники. Под углом $\phi$ к оси лучи от крайних полосок набирают разность хода $\Delta =b\sin \phi$. Если она равна целому числу волн, щель делится на пары полосок, которые гасят друг друга, — получается минимум.

Числа: щель $b=0,1$ мм, свет 550 нм. Первый минимум: $\sin {\phi }_1=5,5\cdot 10^{-7}/10^{-4}=0,0055$, то есть ${\phi }_1\approx 0,32^{\circ }$. Дальше ${\phi }_2\approx 0,63^{\circ }$, ${\phi }_3\approx 0,95^{\circ }$. Центральный максимум простирается от $-{\phi }_1$ до $+{\phi }_1$ и вдвое шире прочих; на экране в двух метрах от щели он займёт $2\lambda L/b\approx 2,2$ см.

Зачем решётке сотни штрихов?#

Дифракционная решётка — набор из $N$ одинаковых щелей через период $d$. Волны от соседних щелей усиливают друг друга там, где их разность хода кратна $\lambda$, — это главные максимумы. В остальных направлениях волны от сотен щелей взаимно уничтожаются, поэтому линии получаются узкими и яркими: между соседними главными максимумами прячется $N-1$ минимум.

Расчёт для решётки 100 штрихов на миллиметр ($d=0,01$ мм) и $\lambda =550$ нм: первый порядок $\sin {\phi }_1=0,055$, то есть ${\phi }_1\approx 3,2^{\circ }$; второй ${\phi }_2\approx 6,3^{\circ }$; пятый ${\phi }_5\approx 16^{\circ }$. Максимальный порядок ограничен условием $\sin \phi \le 1$: $k_{max}=[d/\lambda ]=[1,0\cdot 10^{-5}/5,5\cdot 10^{-7}]=18$. Белый свет решётка раскладывает в спектр в каждом порядке — фиолетовые линии ближе к центру, красные дальше.

Спектральный прибор ценят за разрешающую способность $R=\lambda /\delta \lambda$ — умение развести две близкие линии. У решётки она собирается из числа штрихов и порядка: $R=kN$. Пример: $N=10000$ штрихов во втором порядке дают $R=20000$ — у линии 600 нм различимы компоненты, разнесённые на $\delta \lambda =600/20000=0,03$ нм. А жёлтый дублет натрия (589,0 и 589,6 нм, разнос 0,6 нм) требует $R\approx 589/0,6\approx 980$ — его разводит даже решётка с тысячей штрихов в первом порядке.

Ширину спектра описывает угловая дисперсия $D=d\phi /d\lambda =k/(d\cos \phi )$: спектр шире в высших порядках и на решётках с малым периодом. Производная здесь честная, угловая — это в точности производная функции угла по длине волны. Число для ориентира: в первом порядке решётки с $d=0,01$ мм выходит $D\approx 1,0\cdot 10^5$ рад/м, и дублет натрия с его 0,6 нм разносит линии на $6\cdot 10^{-5}$ рад — немного, но гониометр такое ловит. Именно спектры от призм и решёток научили нас читать состав звёзд: каждый элемент оставляет в спектре свой узор линий, и гелий открыли на Солнце раньше, чем нашли на Земле.

Прикинуть всё это можно дома: лазерная указка и волос. Волос диаметром около 0,1 мм — та же щель, только вертикальная; закрепите его перед лазером, и на стене расцветут полосы — тот же $\sin \phi =\lambda /b$ с b ≈ 100 мкм. Так дифракцией измеряют диаметр проволоки и кровяных телец — там, где механический микрометр не пролезает.

Почему телескоп с большим зеркалом видит больше?#

Круглое отверстие телескопа — та же щель, только двумерная: даже идеальная оптика рисует из звезды не точку, а дифракционный диск с кольцами. По критерию Рэлея два источника различимы, когда максимум одного попадает в первый минимум другого. Угловой предел задаёт апертура $D$:

Глаз: зрачок $D\approx 5$ мм, свет 550 нм — $\theta \approx 1,3\cdot 10^{-4}$ рад, около 28 угловых секунд. С 25 см две точки сливаются, если они ближе $0,034$ мм, — примерно толщина волоса. Телескоп с зеркалом 2 м: $\theta \approx 3,4\cdot 10^{-7}$ рад $\approx 0,07^{\prime \prime }$ — предел лучше глазного в 400 раз, ровно во столько же, во сколько 2000 мм больше 5 мм. На Луне (384 тыс. км) такой телескоп различает объекты размером $\theta L\approx 130$ м.

Тот же предел стоит за пределом оптического микроскопа: увеличь масштабы хоть в миллион раз, а различить детали заметно мельче $\lambda /2\approx 0,2$ мкм не получится — размытие дифракцией не отменить. Полезное увеличение микроскопа поэтому ограничено сотнями крат; всё, что сверх, — пустое раздутие пятна. Электронный микроскоп выигрывает честно: у электронов дебройлевская длина волны в тысячи раз меньше, и предел уезжает в нанометры.

Радиоастрономам повезло меньше: длины волн в тысячи раз больше, и один радиотелескоп с Земли видит грубо. Спасает интерферометрия со сверхдлинной базой: радиотелескопы на разных континентах работают как куски одной огромной апертуры, а фазы согласуют атомными часами — прямой наследник интерференции света.

Как кристаллы дифрагируют рентген?#

У рентгена длина волны — доли нанометра, как расстояние между атомами в кристалле. Значит, кристалл для него — идеальная трёхмерная дифракционная решётка: атомные плоскости с шагом $d$ отражают волны согласованно при условии Вульфа–Брэгга:

Пусть межплоскостное расстояние $d=0,2$ нм, рентген $\lambda =0,1$ нм: $\sin \theta =k/4$, первый пик при $\theta \approx 14,5^{\circ }$, второй при $30^{\circ }$. В обратную сторону метод работает как микроскоп решётки: по углам дифракции восстанавливают структуру кристаллов — так прочитали структуру ДНК, а рентгеновские телескопы в орбитальных обсерваториях смотрят на ту же часть шкалы электромагнитных волн, только со звёзд.

Что дальше. Дифракция ограничивает и глаз, и телескоп, и микроскоп — но узоры на щелях и решётках при этом не зависят от того, «колышется» ли поле в одной плоскости или во всех сразу. А вот отражение и преломление — зависят: у света есть внутренняя ориентация, и ею можно управлять. Дальше — поляризация света: закон Малюса, угол Брюстера и жидкие кристаллы. Формулы решётки перед задачами удобно держать под рукой вместе с таблицей производных — например, в шпаргалке по производным и тренажёре производных, если захочется освежить угловую дисперсию как dφ/dλ.