Геометрическая оптика: законы, линзы и построение изображений

После дождя мокрый асфальт вечером превращается в зеркало: фонарь в луже горит едва ли не ярче, чем в небе. А ныряльщик видит на дне бассейна монету не там, где она лежит, — и не достаёт её с первого раза. Оба эффекта — из одного раздела физики, где свет ведёт себя как строгий геометр. Пока длина волны много меньше всех предметов на её пути, свет можно рисовать лучами — и вся оптика камер, очков и телескопов складывается из четырёх законов.

Какие четыре закона описывают луч света?#

Геометрическая оптика — это предельный случай волновой оптики, когда пренебрегают длиной волны: $lambda\to 0$. Свет заменяют лучом — линией, вдоль которой переносится энергия. На этой картинке мира справедливы четыре закона, известные ещё с античности и уточнённые в XVII веке.

• Прямолинейность: в однородной среде свет распространяется по прямой. Отсюда тени, затмения и невозможность заглянуть за угол.
• Независимость лучей: пересекаясь, лучи не мешают друг другу — каждый ведёт себя так, будто остальных нет.
• Отражение: падающий луч, отражённый и нормаль к границе лежат в одной плоскости, причём угол падения равен углу отражения.
• Преломление (закон Снелла): лучи лежат в одной плоскости с нормалью, а отношение синусов углов равно отношению показателей преломления сред.

Показатель преломления $n$ показывает, во сколько раз среда замедляет свет: $n=c/v$. У вакуума $n=1$, у воздуха $n\approx 1,0003$ (дальше считаем единицей), у воды $n\approx 1,33$, у стекла $n\approx 1,5$, у алмаза $n\approx 2,42$. Замедление — следствие того, что свет — электромагнитная волна, и её скорость в среде падает. На воде всё это видно невооружённым глазом: волны от камней отражаются и преломляются на границе глубин точно так же, как свет, — об этом подробнее в уроке про волны и звук.

Прикинем на числах. Луч идёт из воздуха в воду под углом $\alpha =45^{\circ }$: тогда $\sin \beta =0,707/1,33\approx 0,53$, то есть $\beta \approx 32^{\circ }$ — луч прижался к нормали. Из воды в стекло под тем же углом: $\sin \beta =1,33\cdot 0,707/1,5\approx 0,63$, то есть $\beta \approx 38,8^{\circ }$. Полезное свойство: закон обратим — пустите луч вспять по той же траектории, и равенство снелла останется верным.

Принцип Ферма: свет выбирает самый быстрый путь

Произведение показателя преломления на пройденный путь $L=n\cdot s$ называют оптической длиной пути — это «расстояние в единицах времени»: столько секунд свет затратил бы в вакууме на тот же отрезок. Принцип Ферма утверждает: из всех траекторий между двумя точками свет выбирает ту, у которой оптическая длина пути экстремальна (обычно минимальна). Законы отражения и преломления выводятся из него чистой геометрией, без предположений о природе света.

Работает это как у спасателя на пляже: чтобы добежать до тонущего в воде, он ломает траекторию — по песку бежит дальше вдоль берега, а в воду ныряет под крутым углом, потому что по песку скорость выше. Луч на границе воздух–вода ведёт себя точно так же: в воздухе он «экономит», идя дольше, в воде «платит» крутым отрезком. Минимум суммарного времени — и есть закон Снелла. А заодно принцип Ферма даёт мост к волновой оптике: интерференция сравнивает именно оптические длины путей, об этом — в уроке про интерференцию.

Когда свет не может выйти из воды?#

Если свет переходит из плотной среды в менее плотную ($n_1>n_2$), угол преломления больше угла падения. Рано или поздно $\beta$ дойдёт до $90^{\circ }$ — а дальше преломлённого луча просто нет: весь свет отражается обратно, как от идеального зеркала. Это полное внутреннее отражение.

Для границы вода–воздух: $\sin {\alpha }_0=1/1,33\approx 0,75$, откуда ${\alpha }_0\approx 48,75^{\circ }$. Всё, что падает на поверхность под углом больше $48,75^{\circ }$ от нормали, возвращается в воду целиком — подводная поверхность изнутри выглядит зеркалом. Для стекла ${\alpha }_0=\arcsin (1/1,5)\approx 41,8^{\circ }$, для алмаза — всего $24,4^{\circ }$: огранщики обязаны этим крошечным углом блеск бриллианта, лучи внутри камня многократно отражаются, не находя выхода.

Что делает с лучами тонкая линза?#

Линза — прозрачное тело с двумя преломляющими поверхностями. Если толщина мала по сравнению с радиусами кривизны, линзу называют тонкой — и вся её геометрия сводится к одной точке, оптическому центру. Собирающая линза толще к середине: параллельный пучок она сводит в точку — фокус $F$. Рассеивающая тоньше к середине: пучок она разводит, и продолжения лучей пересекаются в мнимом фокусе перед линзой.

Оптическая сила $D=1/F$ измеряется в диоптриях ($1$ дптр $=1/$м). У линзы с фокусом 10 см сила $D=1/0,1=+10$ дптр. Правило знаков одно на всё: для рассеивающей линзы $F<0$; если изображение мнимое (оно получается на той же стороне, что предмет), отрицательно $f$. Подставляйте знаки честно — и формула сама выдаст правильный ответ.

Как построить изображение за три линии?#

Положение изображения находится пересечением любых двух «удобных» лучей. Для тонкой линзы таких лучей три, и каждый идёт по заведомо известному пути.

• Луч через оптический центр — проходит насквозь без отклонения.
• Луч параллельно главной оптической оси — после линзы идёт через задний фокус (у рассеивающей — его продолжение через передний фокус).
• Луч через передний фокус — после линзы идёт параллельно оси. Третий луч служит бесплатной проверкой: он обязан пройти через ту же точку.

Размер изображения даёт увеличение $\Gamma =f/d=H/h$ — отношение расстояний равно отношению высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$. Знак подскажет ориентацию: $\Gamma <0$ — изображение перевёрнутое.

У рассеивающей линзы сценарий один: при любом $d$ изображение мнимое, прямое и уменьшенное. Именно поэтому «минусовая» линза в очках близорукого человека просто отодвигает мир, не переворачивая его.

Пример: предмет в 15 см от линзы с F = 10 см#

Классическая задача на контрольную. Дано: собирающая линза, $F=10$ см, предмет стоит на расстоянии $d=15$ см. Найти $f$ и увеличение $\Gamma$.

Контрпример с рассеивающей линзой: $F=-20$ см ($D=-5$ дптр), $d=40$ см. Тогда $1/f=-1/20-1/40=-3/40$, то есть $f\approx -13$ см: минус означает мнимое изображение на стороне предмета. Увеличение $\Gamma =13/40\approx 0,33$ — прямое, уменьшенное, мнимое. Как и обещала таблица.

Что стоит на столе у оптика: лупа, объектив, глаз#

Лупа — простейший прибор: предмет ставят чуть ближе фокуса и рассматривают мнимое прямое изображение под большим углом. Всё измерение качества лупы — одна формула $\Gamma =25\text{ см}/F$. Объектив камеры работает в режиме $d\gg 2F$: изображение действительное, перевёрнутое и сильно уменьшенное — матрица или плёнка лежит чуть за фокусом. Наводка на резкость в старых объективах — это буквально выдвижение линзы ближе или дальше матрицы.

Глаз — сам себе фотоаппарат: суммарная оптическая сила роговицы и хрусталика — около 60 дптр, причём основную часть даёт роговица, а хрусталик за счёт аккомодации меняет кривизну, подстраивая фокус от горизонта до ближней точки. При близорукости лучи сходятся перед сетчаткой — их ослабляет рассеивающая линза с отрицательной силой: очки «минус два» — это $F=-50$ см. Дальнозорким наоборот нужна собирающая «плюсовая» оптика.

Микроскоп и телескоп собираются из двух ступеней: объектив даёт действительное промежуточное изображение, а окуляр работает как лупа — показывает его «в увеличении». Разница в расстановке акцентов: у микроскопа объектив короткофокусный и работает с предметом вплотную, у телескопа — длиннофокусный, принимающий почти параллельные пучки от бесконечности. Общее увеличение прибора перемножается: $\Gamma ={\Gamma }_{\text{об}}\cdot {\Gamma }_{\text{ок}}$, поэтому «сила» микроскопа — это произведение кратности объектива на кратность окуляра, что вы и видите на револьверной головке: 40× с окуляром 10× даёт 400×.

Откуда радуга в призме?#

Показатель преломления зависит от длины волны: фиолетовый свет стекло замедляет сильнее, чем красный, поэтому фиолетовые лучи отклоняются сильнее. Это дисперсия. Для тонкой призмы с малым углом $A$ отклонение составляет $\delta \approx (n-1)A$: при $n=1,5$ и $A=5^{\circ }$ луч уйдёт на $2,5^{\circ }$ — а белый свет разложится в веер, потому что у каждой длины волны своё $n$. Радуга — та же призма: капли дождя преломляют и отражают солнечный свет, разнося спектр по небу. Подробный разбор дисперсии и поглощения — в отдельном уроке: дисперсия и поглощение света.

Но лучи — только половина истории. Когда щели и препятствия становятся сопоставимы с длиной волны, геометрия ломается: свет начинает огибать края и накладываться сам на себя. Куда идти дальше: интерференция света — первый волновой эффект, который окончательно похоронил чисто лучевую картину. А построение изображений здесь стоит отработать руками: возьмите любые $F$ и $d$ и прогоните их через формулу и три луча — на бумаге, до контрольной.