Дифракция Фраунгофера: минимумы на щели и максимумы решётки

Жёлтый уличный фонарь кажется одноцветным, но натриевая лампа светит парой линий: 589,0 и 589,6 нм. Глаз этой разницы не видит: шесть десятых нанометра на фоне пятисот восьмидесяти девяти. Разводит их не линза и не увеличение, а разрешающая способность спектрального прибора, и её главный поставщик уже двести лет — дифракционная решётка. Ниже: почему щель режет свет на минимумы, откуда берётся формула $I(\theta )=I_0(\sin \beta /\beta {)}^2$ и сколько нужно штрихов, чтобы дублет натрия рассыпался на две линии.

Фраунгофер против Френеля: два режима одной задачи#

Дифракцию считают в двух режимах, и путать их — верный путь к не сходящейся задаче. Дифракция Френеля — ближняя зона: экран близко, волновой фронт сильно изогнут, кривизну надо учитывать честно. Дифракция Фраунгофера — дальняя зона: лучи от препятствия к точке наблюдения почти параллельны. Формулы там простые, и именно этот режим стоит за решёткой и любым спектрометром.

Критерий перехода считается через число открытых зон Френеля $m=a^2/(\lambda L)$, где $a$ — размер препятствия, $L$ — расстояние до экрана. Когда $m\ll 1$, препятствие не успевает открыть и одной зоны — работает Фраунгофер. Для щели 0,1 мм и зелёного света 500 нм граница: $a^2/\lambda =(10^{-4}{)}^2/5,0\cdot 10^{-7}=2$ см — отодвинули экран дальше двух сантиметров, и вы уже в дальней зоне. Щель в десять микрон отпускает Фраунгофер почти сразу: $a^2/\lambda =0,2$ мм. А линза в фокальной плоскости собирает параллельные лучи в одну точку, поэтому спектрометр помещается на столе — детальный разбор ближней зоны живёт в уроке зоны Френеля, стартовая картина — в уроке дифракция света.

Здесь $a$ — ширина щели, $\phi$ — угол между направлением на точку экрана и осью пучка, $m$ — номер минимума. Логика: под углом $\phi$ разность хода крайних лучей щели равна $a\sin \phi$; если она кратна $\lambda$, щель делится на пары узких полосок, которые гасят друг друга. В центре (прямое направление) гашения нет — сидит центральный максимум, вдвое шире всех прочих. Знак $\pm$ напоминает: картина симметрична по обе стороны оси.

Числа для проверки: щель $a=0,01$ мм (десять микрон), свет 500 нм. Первый минимум: $\sin {\phi }_1=\lambda /a=5,0\cdot 10^{-7}/10^{-5}=0,05$, то есть ${\phi }_1=\arcsin 0,05\approx 2,87^{\circ }$. Дальше ${\phi }_2\approx 5,74^{\circ }$ и ${\phi }_3\approx 8,63^{\circ }$. На экране в метре от щели центральный максимум протянется от $-{\phi }_1$ до $+{\phi }_1$: ширина $2L\tan {\phi }_1\approx 0,10$ м — десять сантиметров из щели в одну сотую миллиметра.

Профиль полос: синус на бете в квадрате#

Угол $\theta$ здесь — то же направление, что $\phi$ выше (так уж пошло: в задачах пишут то одно, то другое), $I_0$ — интенсивность в центре картины. Безразмерный $\beta$ — это полуразность хода крайних лучей, переведённая в радианы: при $\beta =\pi$ разность хода набирает $\lambda$, и интенсивность падает в ноль — первый минимум. В самом центре $\beta \to 0$ и дробь стремится к единице (правило Лопиталя для $\sin \beta /\beta$), отсюда $I(0)=I_0$.

Боковые максимумы сидят там, где производная обращается в ноль, — уравнение $\tan \beta =\beta$. Первое ненулевое решение $\beta \approx 4,49\approx 1,43\pi$, интенсивность $I\approx 0,047I_0$; второе $\beta \approx 7,73\approx 2,46\pi$ даёт $1,6\%$. Запомните порядок величины: боковые лепестки щели слабее центра в двадцать раз — на глаз картина выглядит как яркая полоса с бледными каймами.

Крайние случаи проверяют на здравый смысл. Щель широкая, $a=0,1$ мм при свете 500 нм: $\sin {\phi }_1=0,005$, минимумы прижаты к центру (${\phi }_1\approx 0,29^{\circ }$), и на глаз свет идёт лучом — дифракция прячется в тонкую кайму. Щель в две длины волны, $a=1$ мкм: $\sin {\phi }_1=0,5$, первый минимум уходит уже на $30^{\circ }$, а $\sin {\phi }_2=1$ — второй уползает на самый край, $90^{\circ }$. Сдвинься ещё — и минимумов не останется вовсе: свет расходится почти равномерно, нулей у профиля больше нет. Всё промежуточное между «лучом» и «веером» — территория дифракции Фраунгофера.

Решётка: зачем ей сотни штрихов#

Дифракционная решётка — $N$ одинаковых щелей через период $d$. Вторичные волны соседних щелей складываются в фазе там, где разность хода кратна $\lambda$,

и взаимно уничтожаются во всех прочих направлениях: между соседними главными максимумами укладывается $N-1$ минимум. Чем больше штрихов, тем уже и ярче линии — при $N$ в тысячи максимум первого порядка превращается в тонкую нить, угловая полуширина которой $\Delta \phi \approx \lambda /(Nd\cos \phi )$. Для $N=1000$, $d=2$ мкм и 500 нм это $5,0\cdot 10^{-7}/(2,0\cdot 10^{-3}\cdot 0,97)\approx 2,6\cdot 10^{-4}$ рад — меньше угловой минуты.

Числа для решётки 500 штрихов на мм ($d=0,002$ мм) и 500 нм: $\sin {\phi }_1=\lambda /d=0,25$, значит ${\phi }_1\approx 14,5^{\circ }$; второй порядок ровно при $30^{\circ }$ ($\sin {\phi }_2=0,5$), третий при $48,6^{\circ }$. Максимальный порядок ограничен условием $\sin \phi \le 1$: $k_{\text{макс}}=[d/\lambda ]=4$, но при $\sin {\phi }_4=1$ четвёртый максимум уползает на $90^{\circ }$ — реально видны три порядка по обе стороны от нулевого.

Решётки принято характеризовать штрихами на миллиметр, и перевод мгновенный: 100 штр/мм — период 10 мкм, 600 штр/мм — 1{,}67 мкм, 1200 штр/мм — 0{,}83 мкм. Чем плотнее штрихи, тем дальше разъезжаются порядки: при 1200 штр/мм и 500 нм $\sin {\phi }_1=0,6$, первый порядок уже под $37^{\circ }$. Голографические решётки для ультрафиолета доводят до нескольких тысяч штрихов на миллиметр — там период опускается к половине микрона.

Если щель вдвое уже периода ($a=d/2$), в направлениях чётных порядков срабатывает одновременно и минимум щели: при $\sin {\phi }_2=0,5$ разность хода внутри одной щели $a\sin \phi =\lambda$ — гашение. Второй и четвёртый порядки пропадают, энергетика перетекает в соседние. Это удобно при проектировании: например, у спектральных решёток профиль штриха выбирают так, чтобы максимум света шёл в рабочий порядок.

Разрешающая способность: R = kN#

Вернёмся к фонарю. Две линии с длинами волн $\lambda$ и $\lambda +\delta \lambda$ прибор различает, если их главные максимумы расходятся хотя бы на полуширину, — критерий Рэлея для спектральных приборов. Отсюда определение разрешающей способности:

Чем выше порядок и чем больше штрихов участвует, тем тоньше различие. Для дублета натрия нужно $R=589/0,6\approx 982$. Решётка с $N=1000$ в первом порядке даёт $R=1000$ и $\delta \lambda =589/1000=0,59$ нм — дублет разводится впритык, порог 0,6 нм только-только превышен. Во втором порядке та же работа по силам уже $N=491$ штрихам. А гелий-неоновый лазер с его $\lambda =632,8$ нм служит эталоном-калибровкой: линия известна на пять знаков, по ней проверяют шкалу гониометра.

Призма против решётки

До XIX века спектры получали призмой, и она не сдалась окончательно. Разрешающую способность призмы задаёт дисперсия материала: $R=b\frac{dn}{d\lambda }$, где $b$ — рабочая база, $dn/d\lambda$ — наклон показателя преломления. Для тяжёлого флинта в жёлтой области $dn/d\lambda \approx 1,0\cdot 10^5$ м⁻¹, значит призма с базой 5 см даёт $R\approx 5\cdot 10^3$ — уровень хорошей решётки 100 штрихов/мм шириной 50 мм ($N=5000$, $R=5000$ в первом порядке). Но дальше призма упирается в материал: чтобы расти, нужно дробить длину волны всё точнее, а решётке достаточно добавить штрихов или взять высший порядок.

Решётка при этом делает нечто большее, чем «раскладывает свет»: она выполняет спектральное разложение поля — то же, что ряд Фурье делает с функцией, только аппаратно, со скоростью света. Куда именно уходит каждая гармоника, разбирается в уроке ряды Фурье; словарная статья — ряд Фурье. А зависимость показателя преломления стекла от цвета, на которой построена призма, разобрана в уроке дисперсия и поглощение.

Дальняя зона оказалась послушной: параллельные лучи, синусы, целые числа порядков. Ближняя капризнее — там фронт изогнут, и наивные формулы ломаются. Следующая остановка: зоны Френеля — кольцевое разбиение фронта, зонная пластинка и пятно Пуассона–Араго. Формулы перед задачами держите под рукой, а набить руку на углах и порядках можно в тренажёре по оптике.