Дисперсия и поглощение света: призма, небо и закон Бугера

Опыт Ньютона до сих пор выглядит как фокус: узкий пучок дневного света падает на стеклянную призму — и на стене вместо белого пятна вспыхивает полоса всех цветов радуги. Ни краски, ни фильтров на призме нет: цвет по кусочкам уже сидел в белом свете, а призма его рассортировала. А теперь поставьте на пути пучка толстое оконное стекло — и вместо радуги вы увидите разве что зеленоватый торец. Почему одна и та же стеклянная фигура в одном случае раскладывает свет, а в другом просто пропускает его и понемногу съедает? За этим стоят три механизма — дисперсия, поглощение и рассеяние — и все три понадобятся нам, чтобы объяснить и радугу, и голубое небо, и красный закат.

Почему призма рисует радугу?#

Ответ короткий: показатель преломления зависит от длины волны. Луч, входящий в стекло, меняет направление по закону Снелла — геометрическая оптика и линзы разбирает это подробно, а здесь важна одна деталь: величина $n$ в законе преломления не константа, а функция частоты.

Для типичного кронгласа $n$ растёт от $1,510$ на красном крае ($\lambda =700$ нм) до $1,531$ на фиолетовом ($\lambda =400$ нм). Фиолетовый луч на каждой грани заламывается сильнее красного, поэтому белый пучок на выходе разворачивается в веер цветов. Именно эту зависимость $n(\lambda )$ и называют дисперсией света.

Какой бывает дисперсия: нормальная и аномальная#

Если $n$ убывает с ростом длины волны ($dn/d\lambda <0$), дисперсию называют нормальной: фиолетовые лучи преломляются сильнее красных, и именно так ведёт себя стекло вдали от полос поглощения. Аномальная дисперсия — обратная картина: $dn/d\lambda >0$. Она наблюдается в узких областях спектра, там, где вещество интенсивно поглощает свет.

• нормальная дисперсия: $n$ убывает с $\lambda$; весь прозрачный диапазон стекла, воды, воздуха
• аномальная дисперсия: $n$ растёт с $\lambda$; узкие интервалы около полос поглощения (открыта Леру в 1862 году в парах йода)
• на границе полосы поглощения $n$ резко меняется и успевает пройти и через аномальный участок

Слово «аномальная» не значит «неправильная»: просто две области спектра живут по разным правилам. Призмы и линзы проектируют вдали от полос поглощения — там материал честно работает с нормальной дисперсией, и хроматические искажения предсказуемы.

Что световая волна делает с электроном в стекле#

Почему вообще $n$ зависит от частоты? Ответ даёт электронная теория дисперсии Лоренца. Электрон в атоме связан с ядром так, будто сидит на пружинке с собственной частотой ${\omega }_0$. Проходящая световая волна раскачивает этот зарядик, а раскачанный заряд сам переизлучает. Сумма первичной волны и миллионов вторичных волн и даёт волну в среде — с меньшей скоростью, зависящей от того, насколько «отзывчив» осциллятор на данную частоту.

Механика здесь ровно та же, что в механических колебаниях: внешняя сила, трение, собственная частота, резонанс. Когда частота волны $\omega$ близка к ${\omega }_0$, осциллятор раскачивается особенно сильно: энергия волны щедро перекачивается электрону — это и есть сильное поглощение. И вот что интересно: именно в окрестности резонанса ход $n(\omega )$ переворачивается — там живёт аномальная дисперсия. Далеко от резонансов $n$ растёт с частотой монотонно, как в формуле Коши.

Чем групповая скорость отличается от фазовой#

В вакууме у света одна скорость, и вопросов нет. В среде с дисперсией скорости две, и путать их нельзя. Фазовая скорость $v=\omega /k$ — это скорость гребня бесконечной синусоиды данной частоты. Но сигнал нельзя передать бесконечной синусоидой: реальный сигнал — это волновой пакет, «горб» из набора частот. Групповая скорость — скорость движения огибающей этого пакета:

Почему сигналом служит именно огибающая? Максимум пакета — единственное место, где можно что-то «прочитать»: вспышка, бит сигнала, фронт импульса. Гребни внутри пакета — пустой звук, они рождаются и умирают внутри огибающей, никакого сообщения не несут. Поэтому групповая скорость и есть скорость передачи сигнала (в среде без сильного поглощения). При нормальной дисперсии $u$ меньше фазовой $v$: например, $u=c/(n+\omega dn/d\omega )$, а $dn/d\omega >0$ при нормальном ходе кривой. В воздухе разница ничтожна, в стекле — на проценты.

Куда девается свет в стекле: закон Бугера#

Второй механизм — поглощение: часть энергии световой волны переходит во внутреннюю энергию вещества, стекло греется, пучок слабеет. Экспериментально Пьер Бугер и Иоганн Ламберт установили: на тонком слое толщиной $dx$ теряется доля интенсивности, пропорциональная самой интенсивности и толщине: $dI=-\kappa Idx$. Интегрирование даёт экспоненциальный закон.

Здесь $\kappa$ — показатель поглощения вещества (в практике оптики его часто меряют в см${}^{-1}$), $x$ — толщина слоя. Обратите внимание на устройство формулы: она не линейная, а экспоненциальная. Логично ведь ожидать, что два сантиметра стекла съедят вдвое больше света, чем один? Ничего подобного: слой всегда съедает долю того, что дошло, поэтому ослабление идёт в геометрической прогрессии, как расход денег при обесценивании на фиксированный процент. У хороших сортов стекла в видимой области $\kappa \approx 0,01$ см${}^{-1}$ — на первый взгляд, ничто. Но экспонента — коварная функция, и в этом проще всего убедиться прямым счётом.

Для растворов к закону Бугера добавляется закон Бера: показатель поглощения пропорционален концентрации растворённого вещества, $\kappa =\chi c$, где $\chi$ — свойство молекул, а не растворителя. Тогда

Отсюда целый промышленный метод — спектрофотометрия: измерили ослабление пучка в кювете известной толщины, взяли логарифм — и получили концентрацию вещества. Так проверяют нитраты в воде, сахар в моче, чистоту лекарств. Занимательно, что логарифм здесь работает на нас: экспоненциальное убывание после логарифмирования становится прямой линией, по наклону которой легко извлечь неизвестное.

Почему небо голубое, а закат красный?#

Даже идеально чистый воздух не пропускает свет «просто так»: молекулы газов много меньше длины волны, и свет на них рассеивается — уходит из пучка во все стороны. Для таких крошечных рассеивателей работает закон Рэлея: интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны.

Четвёртая степень — это очень круто. Сравним фиолетовые лучи ($400$ нм) с красными ($700$ нм): ${\left(700/400\right)}^4\approx 9,4$ — коротковолновый свет рассеивается почти в десять раз сильнее. Солнечный луч, идущий к нам сверху, теряет по дороге синюю часть спектра — она разбрызгивается по всему небу. В само небо мы смотрим и видим этот рассеянный синий; в само солнце — и видим то, что осталось: жёлто-оранжевый свет.

На закате луч идёт к глазу сквозь атмосферу наискось, и путь длиннее в десятки раз. Синяя и зелёная части спектра рассеиваются полностью, до наблюдателя доходят красные и оранжевые лучи — отсюда пылающий горизонт. А небо голубое, а не фиолетовое, потому что Солнце излучает фиолетовых фотонов меньше, чем синих, и глаз к фиолетовому менее чувствителен.

О чём рассказывают спектры поглощения атомов и молекул#

Пропустите белый свет сквозь холодный газ и посмотрите на спектр: вместо сплошной радуги — тёмные линии. Газ поглощает свет не на любых частотах, а только на избранных: атом может забрать фотон лишь тогда, когда его энергия $h\nu$ в точности равна разности двух энергетических уровней. Молекулы вместо линий дают полосы — наборы тесно сгруппированных линий от колебательных и вращательных уровней. Спектр — это паспорт вещества.

Так на Солнце ещё в XIX веке увидели тёмные линии Фраунгофера — «отпечатки» атомов в солнечной атмосфере, а по загадочной жёлтой линии открыли гелий на Солнце за 27 лет до того, как нашли его на Земле. Астрономия всерьёз опирается на таблицы спектров: по линиям определяют и состав звёзд, и их скорость, и даже магнитные поля. Заметьте, что здесь поглощение избирательно (линии), а в законе Бугера — сплошное: так бывает, когда длины волн много больше атомных масштабов и резонансы усредняются.

Избирательность поглощения прямо ведёт к квантовой физике: чтобы понять, почему атом поглощает и излучает порциями $h\nu$, надо разобраться, как излучает нагретое вещество вообще. Этому посвящён следующий урок — тепловое излучение и абсолютно чёрное тело.

Дисперсия — не единственный способ расправиться со спектром. Дифракционная решётка раскладывает свет куда чище любой призмы, и как именно она это делает — тема урока дифракция света. А если интересен другой ракурс той же волновой оптики — колебания вектора поля, загляните в поляризацию света.