Тепловое излучение: чёрное тело, Стефан–Больцман и закон Вина

Загляните в разогретую духовку — всё внутри светится ровным оранжевым. Поднесите ладонь к утюгу: тепло чувствуется задолго до того, как металл станет красным, — утюг шлёт инфракрасные фотоны, которых глаз не видит. Тепловизор и вовсе покажет вас самих: человек при 36 °C — источник излучения с максимумом около 9 микрон. Излучает всякое нагретое тело, при любой температуре. И вот что удивительно: из всех разделов физики именно тепловое излучение в 1900 году сломало классическую науку — из честных формул следовал абсурд, что любая тёплая печка должна светить бесконечно ярко. Пришлось допустить, что свет испускается порциями.

Что такое тепловое излучение и чем оно отличается от свечения лампы#

Тепловое излучение — электромагнитное излучение, которое тело испускает за счёт энергии теплового движения его частиц. Заряды в веществе дрожат от тепла, а ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитную волну — по той же логике, что и в электромагнитных волнах. При комнатной температуре излучение лежит в инфракрасном диапазоне, при 800 °C металл начинает краснеть, при 6000 K раскаляется добела.

Чтобы говорить о количестве света, нужны две характеристики. Энергетическая светимость $R$ — энергия, излучаемая со всей поверхности тела в единицу времени, делённая на площадь: ватты на квадратный метр. Излучательная (спектральная) способность $r_{\lambda }$ — то же самое, но по узкому интервалу длин волн: она говорит, как светимость распределена по спектру.

Свечение бывает и не тепловым: гнилушки, люминофор на циферблате, пламя горелки с примесями — это люминесценция, она не обязана подчиняться температуре. Отличие принципиальное: тепловое излучение — единственный вид излучения, способный прийти к равновесию с веществом. В замкнутой полости свет и стены договариваются: сколько энергии в секунду поглощается, столько и излучается. Эта идея равновесия — ключ ко всей теме.

Спектр излучения удобно раскладывать на гармоники, как любую сложную волну, — приём из рядов Фурье здесь работает буквально: спектральная плотность и есть распределение энергии по частотам.

Что такое абсолютно чёрное тело и зачем в нём дырка#

Абсолютно чёрное тело — идеализация: тело, которое поглощает всё падающее на него излучение при любой длине волны и любой температуре. Реальные материалы близки, но не идеальны: сажа поглощает около 99 %, чёрная бумага — около 85 %. Хитрость в том, что лучшее «чёрное тело» — это не материал, а устройство: малое отверстие в замкнутой полости.

Луч, вошедший в отверстие, отражается от стенок много раз, каждый раз частично поглощаясь, и вероятность выйти обратно стремится к нулю. Отверстие ведёт себя как идеальный поглотитель. А когда полость нагревают, отверстие светится — и его излучение не зависит ни от материала стенок, ни от их формы: это равновесное излучение, определяемое только температурой. Именно поэтому физики конца XIX века красили полости сажей и выводили свет через крошечную дырку: так получали эталонный спектр, с которым сравнивали всё остальное.

Что связывает излучение и поглощение: закон Кирхгофа#

Густав Кирхгоф в 1859 году заметил соотношение, которое работает для любого тела: отношение излучательной способности к поглощательной не зависит от природы тела, а зависит только от длины волны и температуры.

Читается это так: тело, которое на данной длине волны хорошо поглощает, на ней же и хорошо излучает. Идеальный поглотитель (чёрное тело) — заодно идеальный излучатель. Отсюда забавный демонстрационный опыт: белая фарфоровая тарелка с тёмным рисунком после прокаливания в печи выглядит «негативом» — рисунок светится ярче фона, потому что тёмная глазурь лучше поглощала и теперь лучше излучает.

Как светимость растёт с температурой: закон Стефана–Больцмана#

Йозеф Стефан подобрал на опытах, а Людвиг Больцман вывел теоретически: энергетическая светимость чёрного тела пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры.

Четвёртая степень — это взрывной рост. Посчитаем для Солнца: $T=5800$ K, значит $T^4\approx 1,13\cdot 10^{15}$, и $R=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 1,13\cdot 10^{15}\approx 6,4\cdot 10^7$ Вт/м². Шестьдесят четыре мегаватта с каждого квадратного метра фотосферы. А теперь человек: $T=310$ K даёт $R\approx 520$ Вт/м² — с двух квадратных метров кожи набирается около киловатта. Куда он девается? Комната с теми же стенами при 293 K излучает обратно примерно 420 Вт/м², и нетто-поток выходит около 100 Вт/м² — по порядку совпадает с тепловыделением человека в покое.

Куда уходит цвет: закон смещения Вина#

Стефан–Больцман отвечает на вопрос «сколько», но не «какого цвета». На этот счёт свой закон: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности, обратно пропорциональна температуре.

Для Солнца ${\lambda }_{\max }=2,9\cdot 10^{-3}/5800\approx 5,0\cdot 10^{-7}$ м = 500 нм — жёлто-зелёный свет. Небезынтересно, что глаз человека как раз чувствительнее всего около этой длины волны: мы адаптировались к светилу. Для человеческого тела ${\lambda }_{\max }=2,9\cdot 10^{-3}/310\approx 9,4$ мкм — глубокий инфракрасный, там и сидит тепловизор. Спираль электроплитки при 1000 K светится максимумом на 2,9 мкм: почти вся мощность уходит невидимо, а вишнёвый цвет — лишь хвост спектра. Из-за этого у лампы накаливания плачевный КПД: вольфрам при 2900 K имеет максимум на 1 мкм, в невидимой области.

Почему классическая физика провалилась: ультрафиолетовая катастрофа#

В 1900 году Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению классическую статистику: каждому колебанию в полости — по порции энергии $kT$, число колебаний в интервале частот растёт как ${\omega }^2$. Получилось изящно и просто:

На низких частотах формула прекрасно совпадает с опытом, и вот почему: классическая статистика приписывает каждому колебанию в полости одну и ту же среднюю энергию $kT$, а число различных колебаний (мод) в интервале частот растёт как ${\omega }^2$ — коротких волн в кубе помещается больше, чем длинных. Перемножили — получили спектр. А на высоких частотах — беда: формула растёт как ${\omega }^2$ безо всякого предела. Полная энергия излучения получается бесконечной: любая печка, любой человек должны были бы излучать неограниченную мощность в ультрафиолете. Опыт же показывает, что спектр на высоких частотах резко падает. Название «ультрафиолетовая катастрофа» придумал Эренфест: катастрофа не практическая, а теоретическая — классическая физика в собственной области давала абсурд.

Как гипотеза Планка закрыла проблему#

Гипотеза Планка: энергия колебания частоты $\omega$ может принимать только значения, кратные кванту $\epsilon =\hslash \omega$ (в других обозначениях $\epsilon =h\nu$ — это одна и та же величина, $h=2\pi \hslash$). Тогда средняя энергия осциллятора оказывается не $kT$, а $\hslash \omega /(e^{\hslash \omega /kT}-1)$: высокочастотные колебания просто «не успевают» набрать квант и почти не заселены. Формула спектра приобретает вид:

Проверим пределы — так формулу и надо читать на экзамене. При $\hslash \omega \ll kT$ экспонента близка к единице, знаменатель даёт $\hslash \omega /kT$, и всё сокращается до формулы Рэлея–Джинса: классика восстанавливается там, где кванты мелкие. При $\hslash \omega \gg kT$ знаменатель растёт экспоненциально, и спектр обрывается — катастрофы нет. Интегрируя формулу Планка по частотам, получаем закон Стефана–Больцмана, дифференцируя — закон Вина: вся плеяда классических законов оказалась частными случаями одной формулы. Заметьте: в безразмерных координатах $x=\hslash \omega /kT$ форма спектра одинакова для всех температур — ползунок температуры лишь пересаживает кривую по осям.

Квант $\epsilon =\hslash \omega$, рождённый в задаче об излучении полости, через пять лет выстрелит ещё раз — в объяснении фотоэффекта. Об этом следующий урок: фотоэффект: свет выбивает электроны.

Кванты света, появившиеся в этой задаче, дальше ведут себя как настоящие частицы: у них есть энергия и импульс, они выбивают электроны и рассеиваются на них. Следующий шаг — убедиться в этом на опытах, начиная с фотоэффекта и заканчивая эффектом Комптона.