Поляризация света: закон Малюса, угол Брюстера и ЖК-экраны

Фотограф на закате крутит круглый фильтр на объективе — и отражения от окна уходят, небо густеет до глубокого синего, облака прорезают рельеф. Фильтр не затемняет всё подряд: он выбирает, колебания в какой плоскости пропускать. Выбор возможен только потому, что свет — волна поперечная: у неё есть направление, перпендикулярное лучу, которое можно упорядочить. У звука такой роскоши нет, поэтому «поляризованный звук» — бессмыслица, а «поляризованный свет» — целая индустрия: от очков до дисплеев.

Чем поляризованный свет отличается от обычного?#

Свет — электромагнитная волна: вектор напряжённости $\vec{E}$ колеблется перпендикулярно направлению распространения. В естественном свете (солнце, лампы) вектор хаотично прыгает между всеми направлениями в плоскости, перпендикулярной лучу. Если колебания упорядочены — свет поляризован. Три базовых случая:

• Линейная поляризация: $\vec{E}$ колеблется вдоль одной прямой — как верёвка, которую качают вверх-вниз.
• Круговая: конец вектора $\vec{E}$ описывает окружность вокруг луча — две перпендикулярные волны со сдвигом фаз $\pi /2$.
• Эллиптическая: общий случай — эллипс; линейная и круговая — его вырождения.

Поперечность — не декоративная деталь, а единственная причина существования поляризации: в продольной волне все направления поперёк луча просто не определены. Геометрия колебаний при этом чисто векторная: проекция вектора на ось считается через скалярное произведение, а наглядная модель — вращающийся вектор на единичной окружности.

Исторически именно двойное лучепреломление подвинуло физиков к этому выводу. Юнг и Френель в 1817 году сообразили: если световые волны продольны, как звук, то расщепление луча в кристалле необъяснимо — продольной волне нечем отличать одно поперечное направление от другого. Пришлось признать поперечность — смелый шаг, ведь для упругой среды она выглядела странно. Ответ пришёл только с Максвеллом: свет — не механическая упругость эфира, а колебания электромагнитного поля, и они строго поперечны.

Как Малюс считал свет за фильтром?#

Поставим на пути линейно поляризованного света поляризатор с осью, повёрнутой на угол $\alpha$ к плоскости колебаний. Фильтр пропускает только проекцию амплитуды: $E=E_0\cos \alpha$. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды — отсюда закон Малюса (1808 год):

Числа для трёх углов: при $\alpha =30^{\circ }$ выходит ${\cos }^{2}30^{\circ }=0,75$ — три четверти света; при $45^{\circ }$ — половина; при $60^{\circ }$ — четверть. Полностью поляризованный свет исчезает за скрещенным фильтром ($90^{\circ }$). Тождество ${\cos }^2\alpha =(1+\cos 2\alpha )/2$ из шпаргалки по тригонометрии подсказывает: кривая Малюса — это дважды ускоренная волна косинуса, приподнятая над нулём.

Тонкость, на которой сыпятся контрольные: если на поляризатор падает естественный свет, в формуле Малюса за $I_0$ принимают свет после первого фильтра. Идеальный поляризатор режет естественный свет ровно вдвое: усреднение ${\cos }^2\alpha$ по всем углам даёт $1/2$. Цепочка «естественный свет → поляризатор → второй фильтр под $\alpha$» пропускает $I_0/2\cdot {\cos }^2\alpha$.

Как получить поляризованный свет — четыре дороги#

Первый путь — поляроиды: плёнки из дихроичных молекул, которые жадно поглощают колебания одной ориентации и почти не трогают перпендикулярные (материал герапатит, Ланд, 1930-е). Дёшево, большие площади — отсюда очки, фильтры и экраны. Второй путь — отражение под углом Брюстера, о нём ниже: стопка стеклянных пластин превращает слабое поляризованное отражение каждой в заметный поляризатор. Третий — кристаллы: призмы Николя и Глана выводят один из двух осколков луча, а волновые пластины перекраивают тип поляризации. Четвёртый работает бесплатно — рассеяние: небо синее и заодно поляризовано, и сильнее всего под прямым углом к солнцу, потому что перпендикулярные компоненты колебаний рассеиваются по-разному. Пчёлы ориентируются по этой карте неба в пасмурный день, а моряки до компасов, по легенде, ловили её «солнечным камнем».

Почему блики на воде гасятся одним поворотом фильтра?#

Отражённый свет всегда частично поляризован: в нём преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения. При одном особом угле поляризация становится полной — шотландец Дэвид Брюстер заметил в 1815 году, что тогда отражённый и преломлённый лучи идут под прямым углом друг к другу:

Для стекла ${\alpha }_{\text{Б}}=\mathrm{arctg}1,5\approx 56,3^{\circ }$, для воды — $\mathrm{arctg}1,33\approx 53,1^{\circ }$, для алмаза — $67,5^{\circ }$. Проверка согласия со Снеллом: при $\alpha =56,3^{\circ }$ преломлённый луч уходит под $\beta =90^{\circ }-56,3^{\circ }=33,7^{\circ }$, и $\sin 56,3^{\circ }/\sin 33,7^{\circ }=0,832/0,555\approx 1,5$ — сходится. Отражённый при этом угле луч полностью линейно поляризован, преломлённый — лишь частично.

Что делает кристалл исландского шпата?#

В анизотропных кристаллах вроде исландского шпата луч раздваивается: один осколок — обыкновенный — подчиняется Снеллу с постоянным $n_o$, второй — необыкновенный — преломляется с показателем, зависящим от направления ($n_e$). Оба луча линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Это двойное лучепреломление (Бартолин, 1669 год) — надёжная фабрика поляризованного света: призма Николя склеивает два куска шпата канадским бальзамом так, что один луч выводится из кристалла, а второй уходит в сторону на полное отражение.

Кварцевые волновые пластины толщиной в четверть волны задерживают одну компоненту колебаний на $\pi /2$ — и превращают линейную поляризацию в круговую, а обратно — круговую в линейную. Так устраивают оптические изоляторы в лазерах и «замки» между ступенями мощных усилителей.

В кристалле исландского шпата разница между $n_o$ и $n_e$ наглядна до бытовости: кусок кальцита на строчку текста даёт два её изображения, слегка разнесённые. Между собой осколки различаются поляризацией: посмотрите через вращаемый поляроид — картинки гасятся по очереди. Жидкие кристаллы в дисплеях — управляемые волновые пластины: напряжение поворачивает молекулы, меняя эффективное $n_e$, а с ним и фазовый сдвиг, который ячейка вносит между компонентами колебаний.

Круговая поляризация получила инженерную специальность в фотографии: на зеркалках работает «круговой поляризационный фильтр» (CPL) — обычный поляроид, за которым стоит λ/4-пластина. Пластина нужна потому, что фазовые датчики автофокуса камеры расщепляют пучок полупрозрачными зеркалами, чувствительными к поляризации: линейно поляризованный свет сбивает их с толку, а после пластины он уже круглый и одинаков для любых отражений. Две формулы этого урока спрятаны в вашем объективе — Малюс режет блики, пластина спасает автофокус.

Как сахар вращает свет?#

Оптически активные вещества — раствор сахара, кварц, многие биомолекулы — поворачивают плоскость поляризации при проходе света. Угол поворота пропорционален пути и концентрации: $\phi =[\alpha ]cl$, где $[\alpha ]$ — удельное вращение. Для сахарозы $[\alpha ]=66,5{}^{\circ }\cdot \text{мл}/(\text{г}\cdot \text{дм})$: в трубке длиной 2 дм с раствором 0,2 г/мл плоскость повернётся на $66,5\cdot 0,2\cdot 2\approx 26,6^{\circ }$. Сахариметры так контролируют сладость сиропов, а право- и левовращающие изомеры одного вещества различают именно по знаку поворота.

Родственный приём — фотоупругость (стресс-оптика): прозрачная пластиковая деталь под нагрузкой становится оптически анизотропной. Помещённая между скрещенными поляризаторами, она расцветает полосами — каждая полоса — линия одинакового механического напряжения. Так ищут опасные зоны в стёклах, шестернях и оправах очков до того, как деталь сломается.

Где поляризация работает каждый день?#

ЖК-экран — поляризационная машина в каждом кармане. Подсветку просеивает поляризатор, затем свет проходит твист-нематическую ячейку, которая поворачивает плоскость поляризации на 90°, и попадает во второй, скрещенный поляризатор: свет выходит, пиксель светит. Подали напряжение — молекулы развернулись, поворот исчез, свет застрял во втором фильтре — пиксель потемнел. Каждый субпиксель экрана, на котором вы это читаете, работает по этой схеме. В 3D-кино два изображения несут взаимно перпендикулярные поляризации, и каждый глаз через очки видит только «своё».

Реальный свет редко бывает идеально поляризован. Степень поляризации $P=(I_{max}-I_{min})/(I_{max}+I_{min})$ меряет контраст между максимумом и минимумом света, проходящего через вращаемый фильтр: $P=0$ — естественный свет, $P=1$ — полная поляризация. Если за фильтром интенсивность меняется от 0,9 до 0,1 отн. ед., то $P=(0,9-0,1)/(0,9+0,1)=0,8$ — смесь, где четыре пятых поляризовано.

Что дальше. Поляризация завершает волновую главу оптики: интерференция сложила волны, дифракция развела их по углам, поляризация показала внутреннюю геометрию колебаний — а линзовая сторона дела осталась в геометрической оптике. Дальше свет начнёт вести себя частицей: нагретые тела светятся по спектральным законам, которые лучевая и волновая физика не осилили. Начните с излучения чёрного тела — первого провала классики — или сразу идите к внешнему фотоэффекту, где Эйнштейн разменял волну на фотоны. А чтобы рука не забывала векторную геометрию проекций, порешайте задачи по тригонометрии: закон Малюса и закон Брюстера — это тригонометрия в чистом виде.