🌡️ Термодинамика

Уравнение Майера

Q: Как из уравнения Майера получить показатель адиабаты?

Разделить. $\gamma = c_p/c_v = (c_v + R)/c_v = 1 + R/c_v$. Через степени свободы: $c_v = iR/2$, откуда $\gamma = (i+2)/i$ — пять третей для одноатомного, семь пятых для двухатомного. Это же $\gamma$ стоит в показателе адиабаты и в скорости звука $c = \sqrt{\gamma R T / \mu}$, поэтому отношение теплоёмкостей измеряют акустикой: писк шарика, выпускающего воздух, буквально измеряет степени свободы молекул.

англ. Mayer's relation

Соотношение cₚ − cᵥ = R для молярных теплоёмкостей идеального газа: разница теплоёмкостей равна газовой постоянной — цене работы расширения при нагреве при постоянном давлении.

Нагрейте газ на градус дважды: один раз в жёстком баллоне, второй — под свободно движущимся поршнем. Второй раз тепла понадобится больше: часть уйдёт на работу расширения против поршня. Уравнение Майера говорит, насколько именно: для одного моля идеального газа разность молярных теплоёмкостей равна универсальной газовой постоянной, $c_{p} - c_{v} = R \approx 8, 31$ Дж/(моль·К). Красивая деталь: разность не зависит от сорта газа — кислород, гелий, водород, у всех одинаковый зазор между теплоёмкостями. Сорт газа управляет сами́ми теплоёмкостями (через число степеней свободы), но не их разностью.

Вывод в одну строку: у идеального газа и $U$ , и $H = U + n R T$ зависят только от температуры, значит $c_{v} = d U / d T$ и $c_{p} = d H / d T = c_{v} + R$ . Числовая проверка: воздух (двухатомный, $i = 5$ ) имеет $c_{v} = 5 R /2 \approx 20, 8$ и $c_{p} \approx 29, 1$ Дж/(моль·К) — разность $8, 3$ , сходится. Отношение $γ = c_{p} / c_{v} = 7/5$ идёт дальше в адиабату $p V^{γ} = const$ , см. адиабатический процесс. Откуда берутся сами теплоёмкости и почему у одноатомных газов $i = 3$ — в уроке основы МКТ; тепловая бухгалтерия — в первом начале.

c_{p} - c_{v} = R, γ = \frac{c _{p}}{c _{v}} = 1 + \frac{2}{i}

разность теплоёмкостей платит за работу расширения;

γ

через число степеней свободы

i

: одноатомный газ

5/3

, двухатомный

7/5

Частые вопросы

Почему разность теплоёмкостей одинакова у всех газов?

Потому что плату берёт не внутренность молекулы, а работа против внешнего давления. При изобарном нагреве на $d T$ расширение идеального газа даёт работу $p d V = R d T$ на моль — независимо от того, одноатомный газ или многоатомный. Внутренняя энергия растёт на $c_{v} d T$ , тепло складывается из двух частей, и постоянная $R$ выскакивает как надбавка за свободу расширения. Реальные газы при высоких давлениях слегка нарушают равенство — там уже работает межмолекулярная механика.

Как из уравнения Майера получить показатель адиабаты?

Разделить. $γ = c_{p} / c_{v} = (c_{v} + R) / c_{v} = 1 + R / c_{v}$ . Через степени свободы: $c_{v} = i R /2$ , откуда $γ = (i + 2) / i$ — пять третей для одноатомного, семь пятых для двухатомного. Это же $γ$ стоит в показателе адиабаты и в скорости звука $c = γ R T / μ$ , поэтому отношение теплоёмкостей измеряют акустикой: писк шарика, выпускающего воздух, буквально измеряет степени свободы молекул.