📈 Матанализ

Совокупность уравнений

англ. Union of equations

Запись «или»: корни совокупности — объединение корней всех её уравнений; противоположность системе, где нужны решения всех уравнений одновременно.

Совокупность уравнений — запись через квадратную скобку, означающая «или»: подходят решения любого из уравнений. Множество корней совокупности — объединение множеств корней частей, с естественным удалением повторов. Противоположность системе с фигурной скобкой, где требуется выполнение всех условий одновременно. Простейший пример: разложение $sin x \cdot (2 cos x - 1) = 0$ равносильно совокупности $sin x = 0$ или $cos x = \frac{1}{2}$ — ответ объединяет $π k$ и $\pm \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Совокупность появляется в уравнениях тремя путями: разложение на множители (произведение равно нулю, значит ноль у одного из сомножителей); возврат из замены (каждый допустимый кандидат $t$ порождает своё уравнение); расщепление корня или степени ( $∣ x ∣ = 3$ — это $x = \pm 3$ ). Дисциплина объединения: пересчитывать общие решения дважды не нужно, а при отборе по ОДЗ фильтрация делается по исходной области. Пара «множитель — ноль» — рабочая схема метода разложения: см. метод разложения на множители и сведение к квадратному, где каждый кандидат $t$ даёт свою серию.

[sin x = 0 cos x = \frac{1}{2} ⟺ x = π k или x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n

квадратная скобка — объединение; фигурная — пересечение (система)

Частые вопросы

Чем совокупность отличается от системы на письме?

Скобкой и смыслом. Квадратная скобка — «или»: достаточно одного уравнения, корни объединяются. Фигурная — «и»: нужны все условия сразу, корни пересекаются. В уравнении $(x - 1) (x - 2) = 0$ после разложения именно совокупность $x = 1$ или $x = 2$ ; а в системе ${x - 1 = 0, x - 2 = 0$ решений нет — условия противоречат друг другу.

Что делать с повторяющимися корнями в совокупности?

Объединение множеств дубликаты убирает: если корень появился от двух уравнений, в ответе он пишется один раз. Пример: $sin 2 x = 0$ даёт $x = \frac{π k}{2}$ , а $sin x = 0$ даёт $π k$ — вторая серия целиком внутри первой, и итог совокупности — только $\frac{π k}{2}$ . Проверка вложенности серий экономит чистовик.