📈 Матанализ

Ротор

Q: Как связаны ротор и циркуляция?

Теоремой Стокса: $\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\operatorname{rot} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS$ — циркуляция по контуру равна потоку ротора через натянутую на него поверхность. В самой точке ротор восстанавливается как предел отношения циркуляции по стягивающемуся контуру к его площади — та самая турбинка, переведённая на язык интегралов.

англ. Curl

Векторная характеристика завихрения поля: $\operatorname{rot} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$ — формальный определитель из базисных векторов, операторов $\partial$ и компонент поля. Указывает ось и интенсивность локального вращения.

Ротор (вихрь) векторного поля $F = (P, Q, R)$ — вектор $rot F$ , описывающий локальное вращение поля: в каждой точке он указывает ось, вокруг которой закручивание сильнее всего, а его модуль измеряет интенсивность этого закручивания. Обозначение $rot F$ принято в русскоязычной традиции; в англоязычных текстах пишут $curl F$ или $\nabla \times F$ — векторное произведение наблы на поле, и это подсказывает природу: ротор — родня векторного произведения, тоже антисимметричная конструкция из координат.

Интуиция — турбинка. Опустим в поток крошечное колёсико с лопастями: если течение раскручивает его, ротор в точке ненулевой, причём ось колёсика совпадает с направлением вектора $rot F$ (правило правой руки), а скорость раскрутки пропорциональна модулю. Река у берега: у поверхности течение быстрее, чем у дна, — колесо вращается, ротор горизонтален. Твёрдое вращение с угловой скоростью $ω$ даёт ротор ровно $2 ω$ . В отличие от скалярной дивергенции, ротор — полноценный вектор: он и направление вращения кодирует.

rot F = i \frac{\partial}{\partial x} P j \frac{\partial}{\partial y} Q k \frac{\partial}{\partial z} R = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})

ротор через формальный определитель: раскрывая по первой строке, получаем покомпонентную формулу — полезно помнить обе формы

Микропример: $F = (- y, x, 0)$ — поле, вращающее вокруг оси $z$ против часовой стрелки. Третья компонента: $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (- 1) = 2$ ; первые две нулевые: $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 0 = 0$ и $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0$ . Ответ: $rot F = (0, 0, 2)$ — вектор вдоль оси $z$ , ровно вдвое больше угловой скорости. Связь с циркуляцией: по окружности радиуса $r$ параметризация $x = r cos t$ , $y = r sin t$ даёт $\oint F \cdot d r = 2 π r^{2}$ ; деля на площадь $π r^{2}$ , получаем $2$ — проекцию ротора на ось вращения. Сдвиговое течение $G = (y, 0, 0)$ тоже не мимо: его ротор $(0, 0, - 1)$ — колёсико крутится даже там, где траектории прямые, лишь бы скорость нарастала поперёк потока.

Вихревые свойства магнитного поля — урок магнитное поле, вращательное движение — урок вращение твёрдого тела. Словарь: сила Лоренца — физическая причина завихрений в магнитном поле; криволинейный интеграл — циркуляция как способ измерить ротор. Векторная алгебра целиком — в шпаргалке по векторам.

Частые вопросы

Как связаны ротор и циркуляция?

Теоремой Стокса: $\oint_{\partial S} F \cdot d r = \iint_{S} (rot F) \cdot n d S$ — циркуляция по контуру равна потоку ротора через натянутую на него поверхность. В самой точке ротор восстанавливается как предел отношения циркуляции по стягивающемуся контуру к его площади — та самая турбинка, переведённая на язык интегралов.

Что означает $rot F = 0$ ?

Поле безвихревое: турбинка ни в одной точке не раскручивается. В односвязной области это равносильно потенциальности: $F = \nabla u$ , и циркуляция по любому замкнутому контуру нулевая. Гравитационное поле точечной массы — безвихревое, а магнитное поле вокруг провода с током — вихревое: линии $B$ замыкаются вокруг оси, и $rot B \neq = 0$ .

Частые вопросы

Как связаны ротор и циркуляция?

Что означает rotF=0?

Что означает $rot F = 0$ ?