🧮 Линал

Ранг матрицы

Q: Как ранг помогает решить неоднородную СЛАУ?

Двумя числами: $r = \operatorname{rang} A$ и $r' = \operatorname{rang}(A|b)$. Если $r < r'$ — противоречивая строка, решений нет. Если $r = r' = n$ (число неизвестных) — решение единственно. Если $r = r' < n$ — бесконечное семейство с $n - r$ свободными переменными, и его каркас строит фундаментальная система решений однородной части. Один подсчёт рангов заменяет перебор: совместность, единственность и размерность пространства решений читаются прямо из двух чисел.

англ. Matrix rank

Число независимых строк (столбцов) матрицы; равен порядку наибольшего ненулевого минора и размерности образа линейного отображения.

Штатное расписание: сколько в таблице сотрудников, делающих уникальную работу, — столько и есть ранг матрицы. Формально: ранг — размер максимального линейно независимого набора строк (или столбцов — ответ совпадает). Эквивалентное определение через миноры: ранг равен наибольшему порядку ненулевого минора, а все миноры большего порядка обязаны обнуляться. Ранг нулевой ровно у нулевой матрицы; у $n \times n$ матрицы ранг $n$ означает невырожденность и ненулевой определитель. Для линейного оператора ранг — размерность образа: сколько измерений пространства реально задействовано отображением.

Считается ранг элементарными преобразованиями: приведите матрицу к ступенчатому виду — ранг равен числу ненулевых строк. Пример: матрица $123245367$ . Вычтем удвоенную первую строку из второй: $000$ ; вычтем утроенную первую из третьей: $0, - 1, - 2$ ; добавим вторую (новую ненулевую) к третьей — ступенчатый вид с двумя ненулевыми строками. Ранг $2$ : третья строка была суммой первых двух с коэффициентами, все три столбца не пережимаются в одномерность. Связь с системами — теорема Кронекера–Капелли: СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной; разница рангов даёт число свободных переменных. Практика счёта — в уроке ранг матрицы, техника преобразований — в термине метод Гаусса.

rang A = dim Im A = max {k : Δ_{k} \neq = 0}, rang (A ∣ b) = rang A ⟺ СЛАУ совместна

три лица ранга: независимые строки, ненулевой минор, размерность образа; равенство рангов расширенной и обычной матрицы — совместность системы

Частые вопросы

Почему ранг строк равен рангу столбцов?

Потому что оба равны рангу как размерности образа линейного отображения. Матрица $m \times n$ — отображение $R^{n} \to R^{m}$ ; столбцы — образы базисных векторов, их оболочка и есть образ, и размерность образа фиксирует число независимых столбцов. Для строк работает транспонирование: $rang A = rang A^{T}$ , а столбцы $A$ — строки $A^{T}$ . Доказательство через миноры тоже возможно, но векторное объяснение честнее: ранг — инвариант отображения, а не аранжировки его таблицы.

Как ранг помогает решить неоднородную СЛАУ?

Двумя числами: $r = rang A$ и $r^{'} = rang (A ∣ b)$ . Если $r < r^{'}$ — противоречивая строка, решений нет. Если $r = r^{'} = n$ (число неизвестных) — решение единственно. Если $r = r^{'} < n$ — бесконечное семейство с $n - r$ свободными переменными, и его каркас строит фундаментальная система решений однородной части. Один подсчёт рангов заменяет перебор: совместность, единственность и размерность пространства решений читаются прямо из двух чисел.