🍎 Механика

Первая космическая скорость

англ. First cosmic velocity

Минимальная горизонтальная скорость у поверхности планеты, при которой тело становится спутником: для Земли ≈ 7,9 км/с; центростремительное ускорение обеспечивает тяготение.

Первая космическая скорость — та горизонтальная скорость, с которой брошенное у поверхности планеты тело уже не упадёт, а станет спутником. Вывод в одну строку: роль центростремительной силы играет тяготение, $ma = GM m / R^{2}$ , откуда $v_{1} = GM / R$ . У поверхности Земли удобно переписать через $g$ : так как $GM / R^{2} = g$ , получаем $v_{1} = g R = 9, 8 \cdot 6, 37 \cdot 1 0^{6} \approx 7, 9$ км/с. Никакой мистики в цифре нет — просто настолько быстро надо бежать, чтобы кривизна траектории совпала с кривизной планеты.

На практике стартуют не с поверхности, а выходят на круговую орбиту радиусом $R + h$ , и формула уточняется: $v = GM / (R + h)$ . Для международной космической станции при $h = 400$ км скорость — около $7, 67$ км/с, период — примерно $92$ минуты. Больше высота — меньше скорость и длиннее сутки на орбите; геостационарный спутник на $36000$ км ползёт со скоростью $3, 1$ км/с. Логика продолжается и дальше: вторая космическая скорость $2$ раза больше первой, $11, 2$ км/с, — это уже побег из гравитационной ямы навсегда. Орбитальная механика с выводами — в уроке гравитация и орбиты.

v_{1} = \frac{GM}{R} = g R \approx 7, 9 км / с, v (h) = \frac{GM}{R + h}

круговая орбитальная скорость: тяготение работает центростремительной силой; на высоте h скорость падает

Частые вопросы

Почему спутник не падает, хотя на него действует тяжесть?

Он и падает — постоянно, но промахивается мимо Земли. За секунду спутник смещается вбок примерно на 7,7 км и опускается к Земле на те самые ~4,9 м свободного падения; но поверхность за счёт кривизны тоже «уходит» вниз с тем же радиусом кривизны. Высота орбиты не меняется, падение превращается в вечное обращение. Это ровно мысленный опыт Ньютона с пушечным ядром на горе.

Чем первая космическая скорость отличается от второй?

Первая — для круговой орбиты: кинетическая энергия ровно гасит гравитационный потенциал на круге. Вторая — скорость убегания: она берётся из равенства кинетической энергии и модуля потенциальной $GM m / R$ , даёт $v_{2} = 2 GM / R = 2 v_{1} \approx 11, 2$ км/с и позволяет уйти на бесконечность с нулевой остаточной скоростью. Между ними лежат эллиптические орбиты — удел большинства реальных запусков.